Suites numériques (5/5)

Soit {f} une fonction définie sur une partie {\mathcal{D}} de {\mathbb{K}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
Soit {a} un élément de {\mathcal{D}}. On peut définir une suite {(u_n)_{n\ge0}} de {\mathbb{K}} par :
— la donnée de son terme initial {u_0=a} dans {\mathcal{D}}
— la relation de récurrence : {\forall\, n\in\mathbb{N},u_{n+1}=f(u_n)}.
On dit alors que la suite {u} est définie par récurrence.

Avec les notations précédentes, il faut s’assurer de l’existence de la suite {u}.
On doit donc vérifier que les {u_n} sont dans {\mathcal{D}} pour tout {n} de {\mathbb{N}}.
C’est évidemment très simple si on sait que {f(\mathcal{D})\subset\mathcal{D}}.

Prenons l’exemple de la suite réelle {(u_n)_{n\ge0}} par : {u_0} dans {\mathbb{R}} et : {\forall\, n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=\sqrt{1-u_n}}.
Pour que cette suite ait un sens, il faut en particulier que {u_1} existe, c’est-à-dire {u_0\le 1}.
Mais pour que {u_2} existe il faut {u_1=\sqrt{1-u_0}\le1}, c’est-à-dire {u_0\ge0}.
Enfin, la condition {0\le u_0\le1} est suffisante car {[0,1]} est stable par {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x}}.

Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{K}} une fonction continue. On suppose que {f(\mathcal{D})\subset\mathcal{D}}.
Soit {(u_n)_{n\ge0}} la suite définie par {u_{0}\in\mathcal{D}} et par la relation {u_{n+1}=f(u_n)}.
Si la suite {u} converge vers un élément {\ell} de {\mathcal{D}}, alors la limite vérifie {f(\ell)=\ell}.
Résoudre l’équation {f(x)=x} donne donc les limites éventuelles de la suite {u} dans l’ensemble {\mathcal{D}}.

Pour une suite définie par une récurrence {u_{n+1} = f (u_n)}, et si {f} est continue, on trouvera les limites éventuelles en cherchant les « points fixes » de {f}, c’est-à-dire en résolvant l’équation {f (x) = x}.

Il est recommandé d’étudier le signe de {f (x)-x}, et d’identifier des intervalles stables par {f} (souvent un intervalle séparant deux points fixes successifs de {f}).

Voici par exemple une situation typique :

• Supposons que {\alpha} et {\beta} soient les seules solutions de {f(x)=x}.
• Supposons en outre que {\alpha\lt x\lt \beta\Rightarrow\alpha\lt f(x)\lt x\lt \beta}.
• Si {\alpha \lt u_0\lt \beta}, alors par une récurrence évidente : {\forall\, n\in\mathbb{N},\alpha\lt u_{n+1}\lt u_n\lt \beta}
• On conclut que la suite {u}, décroissante minorée, converge vers {\alpha} (seule possibilité ici).

Pour illustrer le comportement d’une suite {(u_{n})_{n\ge0}} définie par une relation {u_{n+1}=f(u_{n})}, on utilise souvent des représentations graphiques « en escaliers » ou « en spirale » (le terme utilisé dépend de la monotonie de la suite au voisinage de sa limite).

On voit ci-dessous l’illustration de la convergence d’une telle suite {(u_{n})_{n\ge0}} vers sa limite {\ell}.

On a tracé la courbe {y=f(x)}, la droite {y=x}, ainsi que la perpendiculaire à cette droite qui passe par le « point-limite ». La partie grisée est la « zone de convergence » : si la courbe {y=f(x)} reste dans cette zone au voisinage de {A(\ell,\ell)}, la suite {(u_{n})} converge vers {\ell}.

La convergence est d’autant plus rapide que la tangente à la courbe en {A} est proche de l’horizontale.

On voit sur ces deux exemples que le fait que {f} soit croissante implique seulement que {(u_{n})} est monotone : croissante si {u_{1}>u_{0}} (figure 1), et décroissante si {u_{1}\lt u_{0}} (figure 2).

Dans les deux illustrations ci-dessous, on considère le comportement de la suite {(u_{n})_{n\ge0}} au voisinage d’un point fixe {\ell} de {f}. Dans les deux cas, {f} est décroissante au voisinage de {\ell}, et il en résulte que la suite {(u_{n})_{n\ge0}} n’est pas monotone (en revanche les suites {(u_{2n})} et {(u_{2n+1})} sont monotones).

Dans ce premier exemple, on a {\left|{f'(\ell)}\right|\lt 1}, et la courbe {y=f(x)} reste dans la zone de convergence au voisinage de {A} (on exprime cette situation en disant que {\ell} est un point fixe « attractif » de {f}).

Il en résulte que la suite {(u_{n})_{n\ge0}} converge effectivement vers {\ell}, et de façon alternée (et assez lentement sur notre exemple car la dérivée de {f} en {a} est proche de la valeur {-1}).

Dans l’exemple suivant, on a {\left|{f'(\ell)}\right|>1}, et la courbe {y=f(x)} sort de la zone de convergence au voisinage de {A} (on dit que {\ell} est un point fixe « répulsif » de {f}). Il en résulte que la suite {(u_{n})_{n\ge0}} ne converge pas vers {\ell} (même si {u_{0}} est proche de {\ell}, les {u_{n}} s’en éloignent progressivement)