Suites harmoniques et logarithme

(Oral Centrale)
Pour

{n,p}

dans

{\mathbb{N}^*}

, on pose

{L_{p}(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=p+1}^{np}\dfrac{1}{k}}

.

Justifier l’écriture ${L(n)=\displaystyle\lim_{p\to+\infty}L_{p}(n)}$ .
Montrer que ${L(mn)=L(m)+L(n)}$ .
Montrer que ${n\mapsto L(n)}$ croît strictement.
Montrer que ${L(n)=\ln (n)}$ .

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