Produits scalaires (4/4)

Soit {M} dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}, de colonnes {C_1,\ldots,C_n}.

Le terme général de {A={M}^{\top}M} est {a_{ij}={C_i}^{\top}\,C_j}.

Soit {M} une matrice de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}. Les conditions suivantes sont équivalentes :
— la matrice {M} vérifie {{M}^{\top}M=\text{I}_n}.
— la matrice {M} est inversible et {M^{\,-1}={M}^{\top}}.
— les vecteurs-colonne de {M} forment une famille orthonormale.
Si ces conditions sont réalisées, on dit que {M} est une matrice orthogonale.

Si {M} est une matrice orthogonale, il en est de même de {{M}^{\top}} (car {{M}^{\top}=M^{-1}}).

Une matrice {M} est donc orthogonale si et seulement si ses lignes forment une famille orthonormale.

Les matrices {R(\,\theta)=\begin{pmatrix}\cos \,\theta&-\sin\,\theta\cr \sin\,\theta&\cos\,\theta\end{pmatrix}}et {S(\,\theta)=\begin{pmatrix}\cos \,\theta&\sin\,\theta\cr \sin\,\theta&-\cos\,\theta\end{pmatrix}}sont orthogonales.

On verra plus loin que ce sont les seules les matrices orthogonales d’ordre {2}.

La matrice {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&1\cr 1&-2&2\cr 2&-1&-2\end{pmatrix}} est orthogonale.

Il en est de même de :{M=\begin{pmatrix}\cos\,\theta\cos\varphi &-\sin\,\theta & \cos\,\theta\sin\varphi\cr \sin\,\theta\cos\varphi& \cos\,\theta & \sin\,\theta\sin\varphi\cr \sin\varphi & 0 &-\cos\varphi\end{pmatrix}}

On note {O(n)} ou {O_{n}(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices orthogonales d’ordre {n}.
C’est un groupe pour le produit des matrices (donc un sous-groupe de {GL(n,\mathbb{R})}).
On l’appelle le groupe orthogonal d’indice {n}.

Soit {M} la matrice d’un endomorphisme {f} dans une base orthonormale de l’espace euclidien {E}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :

• l’application {f} est un automorphisme orthogonal de {E} (c’est-à-dire un élément du groupe {O(E)}).
• la matrice {M} est une matrice orthogonale (c’est-à-dire un élément du groupe {O(n)}).

On peut interpréter la proposition précédente en disant que les matrices orthogonales sont les matrices des automorphismes orthogonaux dans les bases orthonormales.

Si on se place dans {\mathbb{R}^{n}} (avec son produit scalaire canonique), une matrice {M} de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} est orthogonale si et seulement si l’endomorphisme {f} canoniquement associé à {M} est une isométrie vectorielle.

Soit {E} un espace euclidien, muni d’une base orthonormale {e=(e_i)_{1\le\,i\,\le\,n}}.
Soit {\varepsilon=(\varepsilon_j)_{1\le\,j\,\le\,n}} une famille de {n} vecteurs, et soit {M} la matrice de la famille {\varepsilon} dans la base {e}.
Alors la famille {\varepsilon} est une base orthonormale de {E} si et seulement si {M} est orthogonale.

Les matrices orthogonales sont donc les matrices de passage entre bases orthonormales.