Probabilités (1/4)

Dans tout ce qui suit, on va étudier des situations dans le déroulement desquelles intervient le hasard (on parlera d’« expériences aléatoires ») et à l’issue desquelles on peut dire si tel ou tel événement particulier s’est, ou ne s’est pas, produit.

Pour estimer les « chances » que possède un événement de se produire effectivement (et avant même que l’expérience aléatoire n’ait débuté), on cherchera à lui attribuer une probabilité.

Il est souvent possible (mais pas toujours nécessaire, ni même utile) de décrire l’ensemble des « issues » de l’expérience (on parle aussi de « résultats élémentaires »).

Cet ensemble {\Omega} est appelé « univers » ou « ensemble des possibles ». Avec ce vocabulaire, un événement peut être vu comme une collection particulière d’issues de l’expérience.

Le programme de première année se limite au cas où l’univers {\Omega} est fini.

Notre objectif, dans un premier temps, est de fournir un modèle mathématique rendant compte du concept d’expérience aléatoire, d’événement au sein de cette expérience, et qui permette de définir précisément la probabilité qu’un tel événement « se produise ».

• On fait le choix d’un ensemble fini {\Omega}, appelé univers, et qui décrit de façon assez informelle l’ensemble des issues possibles (ou résultats possibles ou réalisations) de l’expérience aléatoire étudiée.
  Il n’est souvent ni nécessaire ni même utile d’en donner une définition précise.
• Les éléments {A} de {\mathcal{P}(\Omega)} (ce sont donc des parties de {\Omega}) sont appelés événements.
  Les événements sont donc des collections d’issues élémentaires de l’expérience.
• Les singletons {\{\omega\}}, avec {\omega} dans {\Omega}, sont appelés événements élémentaires.
• Quand l’expérience aléatoire « se déroule », elle se conclut par une issue {\omega} (un élément de {\Omega}).
  Si {A} est un événement et si cette issue {\omega} est dans {A}, on dit alors que l’« événement {A} est réalisé ».
• L’ensemble {\emptyset} est appelé événement impossible, et l’ensemble {\Omega} est appelé événement certain.
  Si {A} est un événement, on dit que {\overline{A}} est l’événement contraire de {A}.
• Soit {A} et {B} deux événements :

  — si {A\subset B}, on dit que {A} implique {B};

  — si {A\cap B=\emptyset}, on dit que {A} et {B} sont incompatibles (ou tout simplement : disjoints);

  — {A\cap B} est appelé « événement {A} et {B} »;

  — {A\cup B} est appelé « événement {A} ou {B} ».

Soit {(A_{i})_{0\le i\le n}} une famille finie d’événements.
On dit que cette famille est un système complet d’événements si elle vérifie les conditions:

• (facultatif) les{A_{i}} sont tous non vides : {\forall\, i \in [[ 0,n]],\;A_{i}\ne \emptyset}
• les {A_i} sont deux à deux incompatibles : {\forall\, (i,j) \in [[ 0,n]]^{2},\;i\ne j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\emptyset}
• {\displaystyle\bigcup_{i=0}^{n}A_i=\Omega} (événement certain).

Ainsi, pour toute issue {\omega} de l’expérience, un et un seul des événements {A_{i}} est réalisé.

Soit {\Omega} un univers fini. On appelle probabilité sur {\Omega} toute application {\mathbb{P}\,\colon \mathcal{P}(\Omega)\to [0, 1]} telle que:

• {\mathbb{P}(\Omega)=1} (probabilité de l’événement certain)
• pour tous événements {A,B} incompatibles : {\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)}

On dit que {(\Omega,\mathbb{P})} est un espace probabilisé fini.

Soit {(\Omega,\mathbb{P})} un espace probabilisé fini.

Dans ce qui suit, {A,B,\ldots} désignent des événements (des parties de {\Omega}) quelconques.

• On a {\mathbb{P}(\emptyset)=0} ({A=B=\emptyset} dans la définition).
• Si {(A_n)_{0\le n\le m}} sont deux à deux incompatibles, alors {\mathbb{P}\Bigl(\displaystyle\bigcup_{n=0}^{m}A_m\Bigr)=\sum_{n=0}^{m}\mathbb{P}(A_n)} (récurrence facile)
• Pour tout événement {A}, on a {\mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}(A)} (choisir {B=\overline{A}} dans la définition)
• Si {A\subset B} alors {\mathbb{P}(A)\le \mathbb{P}(B)} (croissance de la probabilité).
  En effet {B=A\cup(B\setminus A)}, avec {A\cap(B\setminus A)=\emptyset}, donc {\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B\setminus A)\ge \mathbb{P}(A)}.
• Si {A} et {B} sont deux événements, alors :{\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)}
• Si {A,B,C} sont trois événements, alors:
  {\begin{array}{l}\mathbb{P}(A\cup B\cup C)\\[6pts]\quad=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(C)\\[6pts]\qquad-\mathbb{P}(A\cap B)-\mathbb{P}(A\cap C)-\mathbb{P}(B\cap C)\\[6pts]\qquad+\mathbb{P}(A\cap B\cap C)\end{array}}

• Si {(A_{i})_{0\le i\le n}} est un système complet d’événements, alors {\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\mathbb{P}(A_{i})=1}.
• Une probabilité {\mathbb{P}} sur {\Omega} est caractérisée par la donnée des {\bigl(\mathbb{P}(\{\omega\})\bigr)_{\omega\in\Omega}}, c’est-à-dire la probabilité des événements élémentaires, avec {\displaystyle\sum_{\omega\in\Omega}\mathbb{P}(\{\omega\})=1}.
  Pour tout événement {A} : {\mathbb{P}(A)=\displaystyle\sum_{\omega\in A}\mathbb{P}(\{\omega\})}.
• Une situation courante est l’hypothèse d’équiprobabilité, où on pose : {\forall\, \omega\in\Omega,\;\mathbb{P}(\{\omega\})=\dfrac{1}{\text{card}(\Omega)}}On parle aussi de probabilité uniforme.
  Pour tout {A\subset\Omega}, on a alors : {\mathbb{P}(A)=\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}}.

Soit {(\Omega,\mathbb{P})} un espace probabilisé fini.
On dit qu’un événement {A} est négligeable si sa probabilité est nulle.
On dit qu’un événement {A} est presque sûr si sa probabilité vaut {1}.

• L’événement impossible {\emptyset} est évidemment négligeable, de même que l’événement certain {\Omega} est presque sûr. Réciproquement, il peut exister des événements qui sont négligeables sans être impossibles ou presque sûrs sans être certains.
• Tout événement qui contient un événement presque sûr est lui-même presque sûr.
  Tout événement inclus dans un événement négligeable est lui-même négligeable.
• Si {A} est presque sûr, et si {B} est un événement quelconque, alors {\mathbb{P}(B\cap A)=\mathbb{P}(B)}.