Matrices et app^ns linéaires (2/5)

Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, de dimension {n\ge1}, muni d’une base {e}.
Soit {v=(v_{j})_{1\le j\le n}} une famille de {n} vecteurs de {E} (autant donc que la dimension de {E}).
Soit {A} la matrice de la famille {v} dans la base {e}. C’est un élément de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}.
Alors la famille {v} est une base de {E} si et seulement si la matrice {A} est inversible.

Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, de dimension {n\ge1}.
On suppose que {E} est muni de deux bases {e=(e_{i})_{1\le i\le n}} et {\varepsilon=(\varepsilon_{j})_{1\le j\le n}}.
La matrice de la famille {\varepsilon} dans la base {e} est appelée matrice de passage de {e} à {\varepsilon}.
Cette matrice est notée {P_e^\varepsilon}. D’après ce qui précède, elle est inversible.

Avec les notations précédentes, la matrice de passage de {e} à {\varepsilon} est à la fois :

• la matrice de l’identité, de {E} muni de {\varepsilon} vers {E} muni de {e} : {P_e^\varepsilon=\text{Mat}_{\varepsilon,e}(\text{Id}_E)}.
• la matrice dans {e} de l’automorphisme {f} de {E} défini par : {\forall j\in\{1,\ldots,n\},\;f(e_j)=\varepsilon_j}.

• l’inverse de la matrice de passage {P_e^\varepsilon} de {e} à {\varepsilon} est la matrice de passage {P_\varepsilon^e} de {\varepsilon} à {e}.
• si {\alpha}, {\beta} et {\gamma} sont trois bases de {E}, alors on a la relation : {P_\alpha^\gamma=P_\alpha^\beta\,P_\beta^\gamma}.