Limites et continuité (2/5)

Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}, avec {\ell} dans {\mathbb{R}}, alors {\displaystyle\lim_{x\to a}\left|f(x)\right|=\left|\ell\right|}.

• Ce résultat est encore valable si {\ell=\pm\infty}, à condition de noter {\left|{-\infty}\right|=\left|{+\infty}\right|=+\infty}.
• L’existence de {\displaystyle\lim_{x\to a}\left|f(x)\right|} n’implique pas celle de {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}, si on ne sait rien du signe de {f}.
• En revanche, on a l’équivalence : {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to a}\left|f(x)\right|=0}.
• Si {\ell} est un réel, on a les équivalences : {\begin{array}{rl}\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell&\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to a}(f(x)-\ell)=0\\[9pts]&\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to a}\left|{f(x)-\ell}\right|=0\end{array}}

On suppose que {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\ell\,'}, avec {\ell} et {\ell\,'} dans {\mathbb{R}}.
Alors {\displaystyle\lim_{x\to a}(f+g)(x)=\ell+\ell\,'}.
Plus généralement, pour tout {(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^{2}}, on a : {\displaystyle\lim_{x\to a}(\alpha f+\beta g)(x)=\alpha\ell+\beta\ell\,'}.

• Ce résultat s’étend à {\ell} ou {\ell'} dans {\{-\infty,+\infty\}}, à condition que {\alpha \ell+\beta \ell'} ait un sens dans {\overline{\mathbb{R}}}.
• On ne peut en effet rien dire en général de {\displaystyle\lim_{x\to a}(f+g)(x)} si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=-\infty}.
• On dit dans ce cas qu’on est en présence de la forme indéterminée « {\infty-\infty}« .
  Il faut alors faire une étude spécifique et « lever » cette indétermination.

On suppose que {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\ell\,'}, avec {\ell} et {\ell\,'} dans {\mathbb{R}}.
Alors {\displaystyle\lim_{x\to a}(fg)(x)=\ell\ell\,'}.

• Ce résultat s’étend à {\ell} ou {\ell\,'} dans {\{-\infty,+\infty\}}, à condition que {\ell\, \ell\,'} ait un sens dans {\overline{\mathbb{R}}}.
• Ainsi, on ne peut rien dire en général de {\displaystyle\lim_{x\to a}(fg)(x)} si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)\in\{-\infty,+\infty\}}.
• On dit dans ce cas qu’on est en présence de la forme indéterminée « {0\,\infty}« .
  Il faut alors faire une étude spécifique et « lever » cette indétermination.

Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}, avec {\ell\in\mathbb{R}^{*}}, alors au voisinage de {a} : {\left|f(x)\right|\ge\dfrac{1}2\,\left|\ell\right|}, donc {\dfrac{1}{\left|f(x)\right|}\le\dfrac{2}{\left|\ell\right|}}.

Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell>0} (resp. {\ell\lt 0}), alors au voisinage de {a} : {f(x)>\dfrac\ell2>0} (resp. {f(x)\lt \dfrac\ell2\lt 0}).

Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}, avec {\ell} dans {\mathbb{R}^{*}}, alors {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac1\ell}.
Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0} et {f(x)>0} au voisinage de {a}, alors {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{1}{f(x)}=+\infty}.
Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0} et {f(x)\lt 0}) au voisinage de {a}, alors on a {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{1}{f(x)}=-\infty}.
Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=-\infty} ou {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}, alors {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac1{f(x)}=0}.

Ce qui précède permet de conclure dans le calcul de {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}}, sauf dans les cas suivants :

• Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0}, on parle de la forme indéterminée « {\dfrac 00}« 
• Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty}, on parle de la forme indéterminée « {\dfrac\infty\infty}« 

Pour {\displaystyle\lim_{x\to a}\,{f(x)}^{g(x)}}, trois formes indéterminées se ramènent à « {0\,\infty} » car {f(x)^{g(x)}=\text{e}^{g(x)\ln(f(x))}}.

Ces trois formes indéterminées sont :

« 1^\infty » si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=1} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty}

« \infty^0 » si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0}

« 0^0 » si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0^{+}} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0}

Avec une forme indéterminée, tout est possible : on fait une étude spécifique pour chaque cas.

On suppose que la fonction {g\circ f} est définie au voisinage de {a}.
Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b} et {\displaystyle\lim_{x\to b}g(x)=\ell}, alors {\displaystyle\lim_{x\to a}(g\circ f)(x)=\ell}.