Espaces vectoriels normés (1/4)

Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel ({\mathbb{K}=\mathbb{R}} ou {\mathbb{K}=\mathbb{C}}).
On dit que {N :E\to\mathbb{R}} est une norme sur {E} si, pour tous {x,y} de {E}, et pour {\lambda\in\mathbb{K}} : {\begin{cases}N(x)\ge0\;\text{avec}N(x)=0\Leftrightarrow x=0\\[3pt] N(\lambda x)=|\lambda|N(x)\;\text{et}\;N(x+y)\le N(x)+N(y)\end{cases}}On note en général {\left\|x\right\|} plutôt que {N(x)}.
L’espace {E}, muni de la norme {x\mapsto\left\|x\right\|}, est appelé un espace vectoriel normé.

Soit {x=(x_1,x_2,\ldots,x_p)} quelconque dans {\mathbb{K}^{p}}.
On définit trois normes usuelles sur {\mathbb{K}^{p}} :

• la « norme indice 1 » : {\left\|x\right\|_1=\sum\limits_{i=1}^{p}\left|x_i\right|=\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+\cdots+\left|x_p\right|}
• la « norme indice 2 », ou « norme euclidienne » : {\left\|x\right\|_2=\Bigl(\sum\limits_{i=1}^{p}{\left|x_i\right|}^{2}\Bigr)^{1/2}\!\!=\sqrt{\left|x_1\right|^2++\cdots+\left|x_p\right|^2}}
• la « norme infini » : {\left\|x\right\|_\infty=\max\limits_{1\le i\le p}\left|x_i\right|=\max\left\{\left|x_1\right|,\left|x_2\right|,\ldots,\left|x_p\right|\right\}}

• Ces définitions s’étendent à un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E}
  de dimension {n} muni d’une base {\mathcal{B}}.
• Soit {E} un espace préhilbertien réel (pas nécessairement de dimension finie). La norme « déduite du produit scalaire » est définie par : {\forall\, x\in E,\; \left\|x\right\|=\sqrt{\left(x\mid x\right)}}
• Dans un espace normé {E}, on l’encadrement : {\big|\left\|x\right\|-\left\|y\right\|\big|\le\left\|x\pm y\right\|\le\left\|x\right\|+\left\|y\right\|}
• Soit {E} un espace normé non réduit à {\{0\}}.
  Il existe des vecteurs unitaires (de norme vaut {1}).
  Plus généralement, il existe des vecteurs de norme {r>0} fixée : {r\dfrac{x}{\left\|x\right\|}}, où {x\ne0}.

Soit {E} un espace euclidien, et soit {x\mapsto\left\|x\right\|} la norme associée au produit scalaire de {E}.
On sait que l’inégalité {\left\|x+y\right\|\le \left\|x\right\|+\left\|y\right\|} est une égalité si et seulement si {x} et {y} sont positivement liés.

Pour une norme quelconque, et si {y=\lambda x}, avec {\lambda\ge0} : {\left\|x+y\right\|=(1+\lambda)\left\|x\right\|=\left\|x\right\|+\left\|y\right\|}Mais la réciproque est fausse, en général!
Prenons deux exemples :

• si {x=(1,0)} et {y=(0,1)} dans {(\mathbb{R}^{2},\left\|\;\right\|_{1})\;} : {\left\|x\right\|_{1}=\left\|y\right\|_{1}=1\;\text{et}\;\left\|x\!+\!y\right\|_{1}=2=\left\|x\right\|_{1}\!+\!\left\|y\right\|_{1}}
• si {x=(1,0)} et {y=(1,1)} dans {(\mathbb{R}^{2},\left\|\;\right\|_{\infty})} : {\left\|x\right\|_{\infty}\!\!=\left\|y\right\|_{\infty}\!\!=1\;\text{et}\;\left\|x\!+\!y\right\|_{\infty}\!\!=2=\left\|x\right\|_{\infty}\!\!+\!\left\|y\right\|_{\infty}}

Il y a de nombreuses normes « usuelles » sur {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, à commencer par celles qui consistent à identifier un élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} avec un élément de {\mathbb{K}^{np}} et à utiliser l’une des trois normes « usuelles » sur {\mathbb{K}^{np}}.

On a donc les trois normes suivantes sur {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} :

• la « norme indice 1 » : {\left\|A\right\|_{1}=\sum\limits_{i,j}\left|a_{i,j}\right|}
• la « norme infini » : {\left\|A\right\|_{\infty}=\displaystyle\max_{i,j}\left|a_{i,j}\right|}
• la norme « de Frobenius », ou norme « de Schur », définie par : {\left\|A\right\|_{f}=\bigl(\sum\limits_{i,j}\left|a_{i,j}\right|^{2}\bigr)^{1/2}}.
  On vérifie que {\left\|A\right\|_{f}=\bigl(\text{tr}({A}^{\top}\,\overline{A})\bigr)^{1/2}}.

• Inégalité et norme euclidienne
• 5 exercices sur « Normes matricielles »
• Une preuve de Cayley-Hamilton (cf question 2)
• Équation matricielle AX-XB=Y (cf question 3)