| (Oral X-Cachan Psi)
Soit {n} un entier supérieur ou égal à {2}.
Dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} on pose {[A,B ] = AB -BA}.
Soit {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} vérifiant : {\forall\, A,B \in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}),\; \varphi([A,B]) = [\varphi(A),B]}.
On note {{\mathcal H}_{n}(\mathbb{R})} le sous-espace de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} des matrices de trace nulle.
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Montrer que {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}) = \text{Vect}(I_{n})\oplus {\mathcal H}_{n}(\mathbb{R})}
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Montrer qu’il existe {\lambda \in\mathbb{R}} tel que {\forall\, X\in\text{Vect}(I_{n}),\;\varphi(X) = \lambda X}.
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Montrer que si {A} est diagonale, alors {\varphi(A)} l’est aussi.
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Soit {X\in{\mathcal H}_{n}(\mathbb{R})} un vecteur propre de {\varphi} pour la valeur propre {\mu}.
Soit {B \in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {[X, B]\ne 0}.
Montrer que {[X, B]} est vecteur propre de {\varphi}.
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On suppose que {\varphi} est connu sur l’ensemble des matrices diagonales.
Soit {D_{\mu}=\text{diag}(\mu_{1},\mu_{2},\ldots,\mu_{n})}, avec {\mu_{1},\mu_{2},\ldots,\mu_{n}} distincts dans \mathbb{R}.
Soit {A} quelconque dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}.
On note {D_{A}=\text{diag}(a_{1,1},a_{2,2},\ldots,a_{n,n})}.
Montrer qu’il existe {\tilde{A}} unique à diagonale nulle et {A = D_{A} + [\tilde{A},D_{\mu}]}.
En déduire {\varphi(A)} en fonction de {\varphi(D_{A})}, {\varphi(D_{\mu})} et {\tilde{A}}.
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