Espaces préhilbertiens réels

Exercices corrigés de mathématiques en Mpsi Pcsi, pour le chapitre « Espaces préhilbertiens réels »

Inégalité et norme euclidienne

Soient

x,y

dans

{E}

préhilbertien réel.
Montrer que :

{2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}

(Oral X-Cachan)
Soit

{({E,\left({\cdot}\mid{\cdot}\right))}}

un espace euclidien.
Soit

{f:E\rightarrow E}

telle que

{\forall\, (x,y)\in {E^{2}}}

{\left({f(x)}\mid{f(y)}\right)=\left({x}\mid{y}\right)}

.
Montrer que

{f}

est linéaire.