Calcul matriciel (3/3)

Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, de terme général {a_{i,j}}.
On appelle transposée de {A} et on note {A^{\top}} la matrice {B} de {\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})} de terme général {b_{i,j}=a_{j,i}}.

On peut utiliser les deux notations {A^{\top}} ou {{}^{\text{t}}A}.
Si par exemple {A=\begin{pmatrix}1&4&2&3\cr8&4&3&6\cr7&1&0&5\end{pmatrix}}, alors {A^{\top}=\begin{pmatrix}1&8&7\cr4&4&1\cr2&3&0\cr3&6&5\end{pmatrix}}.

La transposition des matrices induit un isomorphisme de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} sur {\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})}.
Plus précisément, si {n=p}, la transposition est un automorphisme involutif de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.

On retiendra que si {A,B} ont même format, on a : {\begin{cases}{(\lambda A+\mu B)}^{\top}=\lambda A^{\top}+\mu B^{\top}\cr {(A^{\top})}^{\top}=A\end{cases}}

Pour {A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, et {B\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})}, on a : {(AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}} (attention à l’ordre!).

On généralise à un produit de {k} matrices : {(A_{1}A_{2}\cdots A_{k})^{\top}=A_{k}^{\top}\,A_{k-1}^{\top}\cdots\,A_{2}^{\top}\,A_{1}^{\top}}

Si {A} est une matrice carrée inversible, alors {A^{\top}} est inversible et {(A^{\top})^{-1}={(A^{-1})}^{\top}}.

On peut retenir que l’inverse de la transposée, c’est la transposée de l’inverse.

Pour toute matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} et tout entier naturel {k}, on a : {{(A^k)}^{\top}=(A^{\top})^k}.
Si {A} est inversible, cette égalité s’étend aux entiers strictement négatifs.