Fonctions vectorielles (4/4)

Dans cette section, on voit comment procéder à l’étude complète d’un arc {t\mapsto M(t)} du plan, l’objectif final étant bien sûr le tracé (soigné) du support de cet arc.
Jusqu’à présent, on a surtout privilégié les études locales (ce qui se passe au voisinage d’un point). On va maintenant adopter un point de vue plus global.
L’étude se déroule en plusieurs étapes. L’ordre indiqué ci-dessous est conseillé.

On commence par préciser le domaine de définition {\mathcal D} de la fonction {t\mapsto M(t)} (un intervalle ou une réunion d’intervalles), et on indique l’ordre de dérivabilité.

Si les fonctions {t\mapsto x(t)} et {t\mapsto y(t)} sont {T}-périodiques, alors on peut limiter le domaine d’étude à un intervalle de longueur {T}. L’arc est alors parcouru tout entier sur cet intervalle.

Sans que la fonction {t\mapsto M(t)} soit {T}-périodique, il arrive que {M(t+T)} dépende de {M(t)} par une transformation géométrique simple. Il suffit alors d’étudier l’arc sur {[t_{0},t_{0}+T]}, puis d’appliquer cette transformation géométrique (éventuellement de façon répétée) pour obtenir toute la courbe.

La symétrie d’axe {x=a} s’écrit {\begin{cases}x'=2a-x\\ y'=y\end{cases}}
La symétrie d’axe {y=b} s’écrit {\begin{cases}x'=x\\ y'=2b-y\end{cases}}
La symétrie de centre {(a,b)} s’écrit {\begin{cases}x'=2a-x\\ y'=2b-y\end{cases}}

Pour l’arc {t\mapsto M(t)} défini sur {I}, on suppose que les conditions suivantes sont réunies :

• l’intervalle {I} est partitionné en {I=J\cup K}.
• il existe une fonction {t\mapsto t'=\varphi(t)} telle que, si {t} parcourt {J} alors {t'} parcourt {K}.
• il existe une même symétrie reliant {M(t)} et {M(t')} pour tout {t} de {J}.

Dans ces conditions, on étudie l’arc sur {J}, et on applique la symétrie à la portion de courbe obtenue, ce qui donne le support de l’arc sur {I} tout entier.
La fonction {t\mapsto t'=\varphi(t)} est très souvent l’une des fonctions suivantes :

• la fonction {t\mapsto -t} (notamment quand {t\mapsto x(t)} et {t\mapsto y(t)} sont paires ou impaires): cela permet de réduire l’étude de l’arc aux valeurs {t\ge0}.
• une des fonctions {t\mapsto t'=a+b-t} ou {t\mapsto t'=\dfrac{a+b}2+t} quand {I=[a,b]};
  cela permet de réduire l’étude de l’arc à une moitié de l’intervalle {I}.

On étudie les variations de {t\mapsto x(t)} et {t\mapsto y(t)}.
On complète par les limites aux bornes du domaine.
Le fait de placer les variations de {x(t)} et de {y(t)} sur deux lignes contigües permet mieux de suivre les déplacements du point {M(t)}.
Rappelons que {m(t)=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}} est le coefficient directeur de la tangente en {M(t)}.
La ligne {m(t)} (facultative) indiquera des valeurs utiles de ce coefficient directeur.

{\begin{array}{|c|c} t&\cdots\\\hline x'(t)&\cdots\\\hline x(t)&\cdots\\\hline y(t)&\cdots\\\hline y'(t)&\cdots\\\hline m(t)&\cdots\\\hline\end{array}}

Le tableau de variations peut faire apparaître des situations particulières, qu’il faut étudier rapidement, en représentant l’allure de la courbe au voisinage du point considéré :

• asymptotes verticales, quand {\displaystyle\lim_{t\to t_0}y(t)=\pm\infty} et
  {\displaystyle\lim_{t\to t_0}x(t)=x_0\in\mathbb{R}};
  l’allure est donnée par le signe de {y(t)} et par le placement de {x(t)} par rapport à {x_0};
• asymptotes horizontales, quand {\displaystyle\lim_{t\to t_0}x(t)=\pm\infty} et {\displaystyle\lim_{t\to t_0}y(t)=y_0\in\mathbb{R}};
  l’allure est donnée par le signe de {x(t)} et par le placement de {y(t)} par rapport à {y_0};
• tangentes verticales, quand {x'(t_0)=0} et {y'(t_0)\ne0};
  tangentes horizontales, quand {y'(t_0)=0} et {x'(t_0)\ne0};
  les variations de {x(t)} et {y(t)} au voisinage de {t=t_0} précisent l’allure locale.
• intersections avec l’axe {x'Ox} quand {y(t)} s’annule, et avec l’axe {y'Oy} quand {x(t)} s’annule;
  on précise si possible la valeur de {m(t)=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}} en ces points;
• points non réguliers (ou encore « stationnaires ») quand {x'(t_0)=y'(t_0)=0};
  on étudie ces points (rebroussements de première espèce? de seconde espèce?), notamment avec un développement limité, et on représente l’allure de la courbe au voisinage du point étudié.
• branches infinies, quand {\displaystyle\lim_{t\to t_0}x(t)=\pm\infty} et
  {\displaystyle\lim_{t\to t_0}y(t)=\pm\infty}; on les étudie, notamment avec un développement asymptotique, et on représente l’allure de la courbe au voisinage du point étudié.

L’étude d’un point stationnaire est parfois facilitée par des considérations de symétrie.

Considérons exemple l’astroïde {x(t)=a\cos^3(t),\;y(t)=a\sin^3(t)}On a {x(0)=a,\;y(0)=0}, et : {\dfrac{y(t)}{x(t)-a}=\dfrac{\sin^3t}{1-\cos^3t}\sim\dfrac{\sin^3t}{3(1-\cos t)}\sim\dfrac{2t}{3}}Ainsi {\displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{y(t)}{x(t)-a}=0}, ce qui prouve qu’il y a une tangente horizontale en {(a,0)}.
Sachant que {x'Ox} est axe de symétrie, cela signifie qu’il y a en ce point un rebroussement de première espèce : il est donc inutile d’effectuer un DL en ce point.
On peut aussi dire que : {m(t)=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}=-\tan t}.
La tangente en tout point {M(t)}, avec {x'(t)\ne0}, a donc un coefficient directeur égal à {-t}.
Par passage à la limite, on retrouve la tangente horizontale au point {M(0)=(a,0)}.

On procède (au brouillon, ou avec sa calculatrice) à un tracé sommaire de la courbe.
Celui-ci peut faire apparaître un « point double ».
Sa détermination (si elle possible) peut ajouter à la précision générale du tracé.

On recherche un point double en résolvant {\begin{cases}x(t_0)=x(t_1)\\ y(t_0)=y(t_1)\end{cases}} avec {t_0\ne t_1}.
Ce système est symétrique en {t_0,t_1}, et il admet la solution évidente (mais à rejeter) {t_0=t_1}.

En général (notamment quand {x(t)} et {y(t)} sont des fractions rationnelles), on peut factoriser {(t_1-t_0)} dans les deux égalités de ce système.
Après simplification par {(t_1-t_0)}, et compte tenu du caractère symétrique du problème, on obtient un système par rapport à {p=t_0t_1} et {s=t_0+t_1}, et qui permet de trouver la ou les paires solutions {\{t_0,t_1\}} et donc le ou les points doubles.

On considère l’arc défini sur {\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}} par :{x(t)=\dfrac{t}{t^2-1}\;\text{et}\;y(t)=\dfrac{t^2}{t-1}}On va montrer que cet arc présente un point double.
On doit donc trouver deux réels {t_0} et {t_1} distincts tels que {M(t_0)=M(t_1)}.
On écrit les équivalences : {\begin{array}{l}M(t_0)=M(t_1)\Leftrightarrow\begin{cases}x(t_0)=x(t_1)\\ y(t_0)=y(t_1)\end{cases}\\[12pt]\quad\Leftrightarrow \begin{cases}t_0(t_1^2-1)=t_1(t_0^2-1)\\ t_0^2(t_1-1)=t_1^2(t_0-1)\end{cases}\\[12pt]\quad\Leftrightarrow \begin{cases}(t_1-t_0)(t_0t_1+1)=0\\ (t_1-t_0)(t_0+t_1-t_0t_1)=0\end{cases}\end{array}}Or {t_0\ne t_1}, ce qui donne {\begin{cases}t_0+t_1=-1\cr t_0t_1=-1\end{cases}}
Ainsi {t_0,t_1} sont les racines de {t^2+t-1=0}.
Pour ces deux valeurs de {t}, on a :{x(t)=\dfrac{t}{t^2-1}=-1\;\text{et}\;y(t)=\dfrac{t^2}{t-1}=-1}Ainsi {A=(-1,-1)} est point double, pour {t_0=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}} et {t_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}}.

En tout point {M(t)} de l’arc, la tangente a pour coefficient directeur {m(t)=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}=\dfrac{t(2-t)(t+1)^2}{t^2+1}}Mais pour {t=t_0} et {t=t_1}, on simplifie {m(t)} en utilisant {t^2=1-t} donc {t^{2}+1=2-t} : {\begin{array}{rl}m(t)&=t(t+1)^2=t(t^2+2t+1)\\[6pt]&=t(2+t)=2t+t^2=1+t\end{array}}On constate donc que : {\begin{array}{rl}m(t_0)m(t_1)&=(1+t_0)(1+t_1)\\[6pt]&=t_0t_1+(t_0+t_1)+1=-1\end{array}}Ainsi les deux tangentes en {A(-1,-1)} sont orthogonales.
On a représenté ici l’allure de l’arc au voisinage du point double.

Il s’obtiennent en cherchant quand {\begin{vmatrix}x'(t)&y'(t)\\ x''(t)&y''(t)\end{vmatrix}} s’annule en changeant de signe.
On peut également chercher les extrémums de {m(t)=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}} (qui se simplifie parfois).

Toute l’étude de l’arc trouve son aboutissement dans le tracé final, qui doit être soigné.
On commencera par placer les différents éléments sur lesquels « repose » la courbe (tangentes horizontales ou verticales, asymptotes, points non réguliers, intersections avec les axes).
Il n’est pas nécessaire (au contraire) de faire figurer les autres points intermédiaires (et n’ayant aucune propriété particulière) ayant servi au tracé.

• Points entiers sur une cubique
• Étude d’une hélice
• Un arc paramétré