Fonctions vectorielles (1/4)

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Une introduction à ce chapitre
Dans ce chapitre, on considère des fonctions définies sur un intervalle {I} et à valeurs dans {\mathbb{R}^{n}}, avec {n\ge1}.
Une telle fonction {f\colon I\to\mathbb{R}^{n}} est définie par ses fonctions composantes {f_{i}\colon I\to\mathbb{R}}, pour {1\le i\le n} :
{\forall\, t\in I,\;f(t)=\big(f_{1}(t),\,f_{2}(t),\,\ldots,\,f_{n}(t)\bigr)}Interprétation cinématique : si {n=2} ou {n=3}, on pourra interpréter la fonction {t\mapsto f(t)} comme la trajectoire d’un point {M(t)=(x(t),y(t))} ou {M(t)=(x(t),y(t),z(t))} du plan ou de l’espace.

Pour tout ce qui se rapporte aux limites et à la continuité des fonctions vectorielles, c’est un cas particulier du chapitre « Espaces vectoriels normés ».
En revanche, les notions relatives à la dérivabilité n’ont de sens que pour les fonctions d’une variable réelle (et à valeurs dans un espace vectoriel normé {E} de dimension finie, pour simplifier {E=\mathbb{R}^{n}}).

Dérivabilité sur un intervalle

D. Taux d'accroissement
Soit {f\colon I\to\mathbb{R}^n}, et soit {t_{0}} un élément de {I}.
Pour {t\ne t_{0}}, on note {T_{f}(t_{0},t)=\dfrac{f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}\in\mathbb{R}^n}.
C’est le taux d’accroissement de {f} entre {t_{0}} et {t}.
D. Développement limité en un point
Soit {f\colon I\to\mathbb{R}^n}, et soit {t_{0}} un élément de {I}.
On dit que {f} admet un développement limité (DL) d’ordre un au point {t_{0}} s’il existe un vecteur {\ell} et une fonction vectorielle {t\mapsto \varepsilon(t)} tels que : {\forall\, t\in I,\;f(t)=f(t_{0})+(t-t_{0})\ell + (t-t_{0})\varepsilon(t)}avec {\displaystyle\lim_{t\to t_{0}}\varepsilon(t)=0}.
On note encore : {f(t)=f(t_{0})+(t-t_{0})\ell + \text{o}(t-t_{0})} (attention, c’est un « petit o » vectoriel).
Un tel DL, s’il existe, est unique. Par exemple : {f(t)=\begin{pmatrix} \ln(1-t)\\ \cos(t)\\ \sin(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\0\\1\end{pmatrix}+\text{o}(t)}
P. Dérivabilité en un point
Soient {f\colon I\to\mathbb{R}^n}, {t_{0}\in I}, {\ell\in\mathbb{R}^{n}}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :

  • la fonction {t\mapsto T_{f}(t_{0},t)=\dfrac{f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}} se prolonge par continuité par la valeur {\ell} en {t_{0}}.
  • en {t_{0}}, la fonction {f} admet le développement limité : {f(t)=f(t_{0})\!+\!(t\!-\!t_{0})\ell \!+\! \text{o}(t\!-\!t_{0})}

Si elles sont réunies, on dit que {f} est dérivable en {t_{0}} et on note {f'(t_{0})=\ell}.

Remarque évidente : si {f :I\to\mathbb{R}^{n}} est dérivable en {t_{0}}, elle y est continue.

P. Dérivabilité des composantes
Soit {f\colon I\to\mathbb{R}^n}, soit {t_{0}} un élément de {I}.
Soit {\ell=(\ell_{1},\ell_{2},\ldots,\ell_{n})} un vecteur de {\mathbb{R}^{n}}.
Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

  • la fonction {f} est dérivable en {t_{0}}, avec {f'(t_{0})=\ell}
  • les fonctions composantes {f_{i}} de {f} sont dérivables en {t_{0}}, avec {f_{i}'(t_{0})=\ell_{i}}

En cas de dérivabilité en {t_{0}}, on pourra donc écrire :{f'(t_{0})=\big(f'_{1}(t_{0}),\,f'_{2}(t_{0}),\,\ldots,\,f'_{n}(t_{0})\bigr)}Exemple : {f(t)=\begin{pmatrix} t^2\\ \cos(t)\\ \sin(t)\end{pmatrix}\Rightarrow f'(t)=\begin{pmatrix} 2t\\-\sin(t)\\\cos(t)\end{pmatrix}}

R. Interprétation géométrique et cinématique
Soit {f\colon I\to\mathbb{R}^n}, dérivable en {t_{0}}.
On note indifféremment {f(t)} ou {M(t)}.
Si {f'(t_{0})\ne 0}, il existe un intervalle ouvert centré en {t_{0}} et sur lequel {f(t)\ne f(t_{0})} si {t\ne t_{0}}.

Le vecteur {T_{f}(t_{0},t)=\dfrac{f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}} dirige alors la « corde » {{\mathcal D}_t} passant par {M(t_0)} et {M(t)}.

L’hypothèse {f'(t_{0})\ne 0} implique que, quand {t\to t_0}, la « limite » de la droite {{\mathcal D}_t} est la droite {\Delta} (passant par {M_{0}} et dirigée par {f'(t_{0})}). Cette droite {\Delta} est appelée tangente en {M(t_0)} à la trajectoire {t\mapsto M(t)}.

Quant au vecteur {f'(t_{0})} (ou {M'(t_{0})}), il est le « vecteur vitesse » de {M(t)} «à l’instant {t=t_{0}}».

Le cas {f'(t_{0})=0} signifie que la vitesse de {M(t)} s’annule à l’instant {t_{0}} : cela ne veut pas dire pour autant que le point {M(t)} s’arrête dans son mouvement (penser à un choc parfait).
Dans ce cas, il faut trouver autre chose pour diriger la tangente à la trajectoire en {M(t_{0})} (par exemple le vecteur accélération {M''(t_{0})}).

R. Applications à valeurs matricielles
On peut identifier les espaces {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})} et {\mathbb{R}^{np}} (par identification des bases canoniques).
Les fonctions {A\colon I\to\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})} sont alors des cas particuliers d’applications vectorielles.
Une telle fonction {t\mapsto A(t)} est caractérisée par ses {np} fonctions composantes : {\forall\, t\in I, [A(t)]_{i,j}=a_{i,j}(t)}.

Là encore, dire que la fonction {A} est dérivable en {t_{0}}, c’est dire que ses composantes le sont.
Pour tous indices {i,j}, le coefficient d’indice {i,j} de la matrice {A'(t_{0})} est alors {a'_{i,j}(t_{0})}.
Par exemple, soit {R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}}.
Alors {R'(\theta)=\begin{pmatrix} -\sin\theta&-\cos\theta\\\cos\theta&-\sin\theta\end{pmatrix}=R\Bigl(\theta+\dfrac{\pi}{2}\Bigr)}.

D. Dérivabilité sur un intervalle
On dit que {f :I\to\mathbb{R}^{n}} est dérivable sur {I} si elle l’est en tout point de {I}. Cela permet de définir la fonction vectorielle dérivée {f'\colon I\to\mathbb{R}^{n}}.
P. Dérivabilité des composantes
Soit {f\colon I\to\mathbb{R}^n}. Posons {f(t)=\big(f_{1}(t),f_{2}(t),\ldots,f_{n}(t)\bigr)}.
Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

  • la fonction {f} est dérivable sur {I}.
  • les composantes {f_{i}} de {f} sont dérivables sur {I}.

Dans ce cas, on a alors : {\forall\, t\in I,\;f'(t)=\big(f'_{1}(t),f'_{2}(t),\ldots,f'_{n}(t)\bigr)}

Opérations sur fonctions dérivables

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