Diagonalisabilité d'une matrice 4x4

(Oral Centrale)
Soit

{A=}

{\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}}

{\mathcal{M}_4(\mathbb{R})}

, avec

{bcd\neq 0}

Calculer ${A+{A}^{\top}}$ , ${{A}^{\top}A}$ et ${(tI_{4}-{A}^{\top})(tI_{4}-A)}$ . En déduire ${\chi_{A}}$ .
${A}$ est-elle diagonalisable dans ${\mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})}$ ?
Trouver un polynôme annulateur; ${A}$ est-elle diagonalisable dans ${\mathcal{M}_{4}(\mathbb{C})}$ ?

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