Suite presque toujours périodique

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Soit {a} un nombre réel strictement supérieur à {1}.

On définit une suite (u_n)_{n\ge 1}, à valeurs dans {\mathbb{R}\cup\{\infty\}}, de la manière suivante :

On pose {u_{1}=2} et : {\forall n\ge 1,\;u_{n+1}=2-\dfrac{a}{u_{n}}}. Plus précisément:

  • S’il existe un entier {n} tel que {u_{n}=0}, on pose {u_{n+1}=\infty}.
  • S’il existe un entier {n} tel que {u_{n}=\infty}, on pose {u_{n+1}=2}.
    Puisque {u_{1}=2}, on peut donc compléter la définition avec{u_{0}=\infty}.

La suite {(u_{n})_{n\ge1}} est donc bien définie, et à valeurs dans {\mathbb{R}\cup\{\infty\}}.

On va étudier sa périodicité éventuelle, en fonction du paramètre {a}.

  1. Vérifier que la suite {(u_{n})_{n\ge1}} n’a pas de limite.
  2. Puisque {a>1}, on peut poser {a=1+\tan^2\,\theta}, avec {0\lt \,\theta\lt \dfrac\pi2}.
    Montrer que {u_{n}(a)=1+\dfrac{\tan\,\theta}{\tan n\,\theta}} (avec {u_{n}=\infty} si {n\,\theta\equiv0\;[\pi]}).
  3. On note {\mathscr{P}} l’ensemble des {a>1} pour lesquelles {(u_{n})_{n\ge1}} est périodique.
    Montrer que {\mathscr{P}=\Bigl\{1+\tan^2(r\pi),\;r\in\mathbb{Q},\;0\lt r\lt \dfrac12\Bigr\}}.
    En déduire que {\mathscr{P}} est dense dans {[1,+\infty[}.
  4. Déterminer les {a} pour lesquelles {(u_{n})_{n\ge1}} est \emph{exactement} de période {12}.
  5. On suppose {0\lt a\lt 1} (on garde le reste de la définition de {u}).
    Reprendre l’étude de la suite {(u_{n})_{n\ge1}}.

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  1. À l’évidence {(u_{n})_{n\ge1}} ne peut pas converger vers {0}, ni tendre vers {\pm\infty}.

    Supposons par l’absurde qu’elle converge vers un réel {\ell}.

    On a alors {\ell=2-\dfrac{a}{\ell}} donc {\ell^2-2\ell+a=0}.

    Or le discriminant {\Delta'=1-a} est strictement négatif: c’est absurde.

  2. Pour {n\ge1}, soit {v_{n}=1+\dfrac{\tan\,\theta}{\tan n\,\theta}}. En particulier {v_{1}=2}.

    Pour tout {n\ge1}, on a : {\begin{array}{rl}v_{n+1}&=1+\dfrac{\tan\,\theta}{\tan(n+1)\,\theta}=1+\dfrac{(\tan\,\theta)(1-\tan n\,\theta\tan\,\theta)}{\tan n\,\theta+\tan\,\theta}\\\\&=1+\dfrac{\tan\,\theta-(a-1)\tan n\,\theta}{\tan n\,\theta+\tan\,\theta}=2-a\dfrac{\tan n\,\theta}{\tan n\,\theta+\tan\,\theta}\\\\&=2-\dfrac{a}{v_{n}}\end{array}}Ainsi les suites {(u_{n})_{n\ge1}} et {(v_{n})_{n\ge1}} satisfont à la même récurrence d’ordre {1}.

    De plus, elles ont le même terme initial. Conclusion : {\forall n\in\mathbb{N}^*,\;u_{n}=v_{n}}.

  3. La suite {(u_{n})_{n\ge1}} n’est pas constante, car {u_{2}=2-\dfrac{a}{2}\neq 2}.

    Si {(u_{n})_{n\ge1}} est {m}-périodique ({m\ge2}) on a {u_{1+m}=u_{1}=2} donc {u_{m}=\infty}.

    Réciproquement, si {u_{m}=\infty}, alors {u_{1+m}=2}.

    On en déduit que {(u_{n})_{n\ge1}} est périodique de période {m} (ou {\le m}).

    Or, d’après ce qui précède, {u_{m}=\infty} si {m\,\theta\equiv0\;[\pi]}, c’est-à-dire {\,\theta=\dfrac{k\pi}{m}}.

    On sait que {1\le k\lt \dfrac{m}{2}} (car {0\lt \,\theta\lt \dfrac\pi2}), donc nécessairement {m\ge3}.

    Ainsi {\mathscr{P}=\Bigl\{a_{m,k}=1+\tan^2\dfrac{k\pi}{m},\;m\ge3,\;1\le k\lt \dfrac{m}{2}\Bigr\}}

    Quand {k,m} varient avec ces conditions, {k/m} décrit {\mathbb{Q}\;\cap\;]0,1/2[}.

    Conclusion : {\mathscr{P}=\Bigl\{a_{r}=1+\tan^2(r\pi),\;r\in\mathbb{Q},\;0\lt r\lt \dfrac12\Bigr\}}.

    Ainsi {\mathscr{P}} est dense dans {[1,+\infty[} (variations et continuité de {\tan}).

  4. Supposons {a=1+\tan^2(r\pi)}, avec {r=\dfrac{k}{m}}, {1\le k\lt \dfrac{m}{2}}, et {k\wedge m=1}.

    Alors {u_{n}=1+\dfrac{\tan(r\pi)}{\tan(nr\pi)}\ne\infty} si {1\le n\lt m} et {u_{m}=\infty} donc {u_{1+m}=2}.

    Dans ce cas, la période T_a de {(u_{n})_{n\ge1}} est exactement égale à {m}.

    Les {a} tels que {T_a=12} sont les {a=1+\tan^2\Big(\dfrac{k\pi}{12}\Bigr)}, avec {k\in\{1,5\}}.

    On trouve {a=8-4\sqrt3} pour {k=1}, et {a=8+4\sqrt3} pour {k=5}.

  5. Si 0\le a\lt a, il y a deux limites éventuelles {\begin{cases}\ell_{1}=1-\sqrt{1-a}\\\ell_{2}=1+\sqrt{1-a}\end{cases}}.

    On a les inégalités : {0\lt \ell_{1}\lt 1\lt \ell_{2}\lt u_{1}=2}.

    Pour tout {x>\ell_{2}}, on a {\ell_{2}\lt f(x)\lt x}.

    La suite {(u_{n})} est donc strictement décroissante et converge vers {\ell_{2}}.