Un produit scalaire entre polynômes

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Dans cet exercice, {n} est un entier naturel non nul fixé.
Pour {k\in[[0,n-1]]}, soit {\,\theta_{k}=\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}} et {c_{k}=\cos(\,\theta_{k})}.

On note J=[-1,1], {E=\mathcal{C}(J,\mathbb{R})}. Soit {F} le sous-espace de {E} formé des applications polynomiales de degré strictement inférieur à {n}.

Pour {m\in\mathbb{N}^*}, soit {T_{m}\colon x\in J\mapsto \cos(m\arccos x)} et {T_{0}\colon x\in J\mapsto \dfrac1{\sqrt2}}.

Pour {m\ge 1}, on admet que {T_{m}} est une fonction polynomiale de degré {m}, de coefficient dominant {2^{m-1}}, et que les racines de {T_{n}} sont les {c_{k}}, avec {0\le k\le n-1}.

Pour tous éléments {f,g} de {E}, on note :
{\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})\text{\ et\ }N(f)=\sqrt{\left(f\mid f\right)}}

  1. Pour {m\in\mathbb{Z}}, on pose {S(m)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}\cos(m\,\theta_{k})}.

    Montrer que {S_{m}=\begin{cases}(-1)^kn\text{\ si\ }m=2kn,\; k\in\mathbb{Z}\cr 0\text{\ sinon\ }\end{cases}}

  2. L’application {(f,g)\mapsto\,\left(f\mid g\right)} est-elle un produit scalaire sur {E}?

    Vérifier que sa restriction à {F\times F} est un produit scalaire sur {F}.

    Montrer que {(T_{m})_{0\le m\lt n}} est alors une base orthonormée de {F}.

  3. Pour tout {f\in E}, on note : {P(f)=\displaystyle\sum_{m=0}^{n-1}\left(f\mid T_{m}\right)T_{m}}.

    • Montrer que : {\forall Q\in F,\;\left(f-P(f)\mid Q\right)=0}.

    • Prouver que : {\forall Q\in F,\;N(f-Q)^2=N(f-P(f))^2+N(P(f)-Q)^2}.
    • En déduire que {P(f)} est l’unique élément de {F} tel que :
      {\forall k\in[[0,n-1]],\;P(f)(c_{k})=f(c_{k})}

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