Série génératrice et suite récurrente

(Oral Centrale Mp)
Soit {u} la suite définie par {\begin{cases}u_1=0 \\ u_2=1\end{cases}} et {\forall\, n \in \mathbb{N}^*,\; u_{n+2}=u_{n+1} + \dfrac{u_n}n}.

    • Déterminer une suite majorante simple de la suite {u}.
      Préciser le rayon de la série entière {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} u_n x^n}.
    • Montrer que {f} vérifie une équation différentielle linéaire {(E)} d’ordre {1}.
  1. Résoudre {(E)} et en déduire que {u_{n}=n\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^k}{k!}}.
  2. Donner un développement asymptotique de {u_n} à deux termes.

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    • Par récurrence facile : {\forall\, n \in \mathbb{N}^*,\;u_{n}\le n}, donc {R\ge1}.

      Par ailleurs la suite est croissante donc il y a divergence en {1} : le rayon vaut {1}.

    • Soit {x \in ]-1,1[} et {n \geq 1}. Alors : {\displaystyle\sum_{n \geq 1} u_{n+2}x^{n+2}= x \displaystyle\sum_{n \geq 1}u_{n+1} x^{n+1}+ x^2 \displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{u_n}n x^{n}}Autrement dit, en posant {\varphi(x) = \displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{u_n}n x^{n}} : {f(x) - x^2 = x f(x) + x^2 \varphi(x)}Ainsi : {(\star)\ (1-x)f(x)=x^2+x^2 \varphi(x)}.

      On a {\varphi'(x)=\displaystyle\sum_{n \geq 1} u_n x^{n-1}} donc {x \varphi'(x)= \displaystyle\sum_{n \geq 1} u_n x^{n}=f(x)}.

      On dérive {(\star)} et on obtient : {\begin{array}{rl}-f(x)+(1-x)f'(x)&=2x+x^2 \varphi'(x)+2x \varphi(x)\\\\&=2x+x f(x)+2x \varphi(x)\end{array}}Ainsi : {(\star\star)\ 2x \varphi(x)=(1-x)f'(x)-(1+x)f(x)-2x}.

      On reporte {(\star\star)} dans {(\star)} et on trouve : {2(1-x)f(x)=2x^2+x ( (1-x)f'(x)-(1+x)f(x)-2x)}En conclusion, on a l’équation différentielle : {x(x-1)f'(x)+(x^2-x+2)f(x)=0}

  1. La solution générale est {f(x)=\lambda\dfrac{x^{2}\text{e}^{-x}}{(x-1)^{2}}=\lambda x^{2}+\text{O}(x^{2})}.

    Comme {u_2=1} on a donc {f(x)=\dfrac{x^{2}\text{e}^{-x}}{(x-1)^{2}}}.

    On va procéder à un développement en série entière.

    On a : {\begin{array}{rl}e^{-x}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n!} x^n\end{array}} et : {\begin{array}{rl}\dfrac 1{(1-x)^2}= \dfrac{d}{dx} \dfrac 1{1-x}= \dfrac {d}{dx}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)x^n\end{array}}On fait alors un produit de Cauchy :{e^{-x} \dfrac 1{(1-x)^2} = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^k}{k!} (n+1-k)\biggr)x^n}Ainsi {f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^k}{k!} (n+1-k)\biggr) x^{n+2}}.

    Par unicité du développement: {\forall\, n \geq 2, \; u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{(-1)^k}{k!} (n-k-1)}.

    On va maintenant simplifier cette expression de {u_n} : {\begin{array}{rl}u_n&= n \displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{(-1)^k}{k!} - \displaystyle\sum_{k=1}^{n-2} \dfrac{(-1)^k}{(k-1)!} - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{(-1)^k}{k!}\\\\&= n \displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{(-1)^k}{k!} + \displaystyle\sum_{k=0}^{n-3} \dfrac{(-1)^k}{k!} - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{(-1)^k}{k!}\\\\&= n \displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{(-1)^k}{k!} - \dfrac{(-1)^n}{(n-2)!} = n\biggl(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{(-1)^k}{k!} - \dfrac{(-1)^n}{n(n-2)!}\biggr)\\\\&= n\biggl(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{(-1)^k}{k!} - \dfrac{(-1)^n (n-1)}{n!}\biggr)\\\\&=n \biggl(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{(-1)^k}{k!} - \dfrac{(-1)^n }{(n-1)!}+ \dfrac{(-1)^n }{n!}\biggr)=n \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^k}{k!}\end{array}}

  2. On sait déjà que {u_n \sim \dfrac ne}.

    Pour aller plus loin, on s’intéresse au reste de la série.

    Posons {v_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^k}{k!}} et {r_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{k!}}.

    Avec ces notations, {v_n=\dfrac 1e - r_n} donc {u_n=\dfrac ne - n r_n}.

    Comme la série est alternée on a : {\Big|r_n - \dfrac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}\Big| \leq \dfrac 1{(n+2)!}}.

    On en déduit : {r_n \sim \dfrac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}}.

    En conclusion : {u_n=\dfrac ne + \dfrac{(-1)^n}{n!}+o\Big(\dfrac 1{n!}\Big)}.