(Oral Centrale Mp)
Soit {u} la suite définie par {\begin{cases}u_1=0 \\ u_2=1\end{cases}} et :{\forall\, n \in \mathbb{N}^*,\; u_{n+2}=u_{n+1} + \dfrac{u_n}n}
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Déterminer une suite simple majorant {u}.
Préciser le rayon de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} u_n x^n}.
- Montrer que {f} vérifie une équation différentielle linéaire {(E)} d’ordre {1}.
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Résoudre l’équation {(E)}.
En déduire que {u_{n}=n\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^k}{k!}}.
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Donner un développement asymptotique de {u_n} à deux termes.
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