Série génératrice et suite récurrente

(Oral Centrale Mp)
Soit {u} la suite définie par {\begin{cases}u_1=0 \\ u_2=1\end{cases}} et {\forall\, n \in \mathbb{N}^*,\; u_{n+2}=u_{n+1} + \dfrac{u_n}n}.

    • Déterminer une suite majorante simple de la suite {u}.
      Préciser le rayon de la série entière {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} u_n x^n}.
    • Montrer que {f} vérifie une équation différentielle linéaire {(E)} d’ordre {1}.
  1. Résoudre {(E)} et en déduire que {u_{n}=n\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^k}{k!}}.
  2. Donner un développement asymptotique de {u_n} à deux termes.

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