Racines du polynôme dérivé (bis)

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Pour {n\in\mathbb{N}^*}, soit {Q_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)} et {S_{n}=\dfrac{Q_{n}'}{Q_{n}}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{X-k^2}}.

    • Si {n>k\ge0}, montrer que {Q'_{n}} a une unique racine {\mu_{n,k}\in J_k=\,]k^2,(k\!+\!1)^2[}.
    • Prouver que {(\mu_{n,k})_{n>k}} décroît strictement. On note {\ell_{k}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\mu_{n,k}}.
  1. On définit la fonction {x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{x-k^2}}.

    • Montrer que {S} est {\mathscr{C}^{\infty}} sur son domaine de définition.
    • Pour tout {k\in\mathbb{N}}, montrer que {S} s’annule en un unique {\alpha_{k}\in J_k},
    • On fixe {k} dans {\mathbb{N}}. {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S(\mu_{n,k})=0}. En déduire {\ell_{k}=\alpha_{k}}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

    • Rolle nous dit que {Q'_{n}} a au moins une racine dans chacun des {n-1} intervalles {J_k}.

      Comme {\deg Q'_{n}=n-1}, c’est fini.

    • On sait que {k^2\lt \mu_{n,k}\lt (k+1)^2\le n}, pour tout {n>k}.

      Pour {x\notin\{0,1,\ldots,n\}}, on a {S'_{n}(x)=-\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{(x-k^{2})^2}\lt 0}.

      Ainsi {S_{n}} est bijective strictement décroissante de {J_k} sur {\mathbb{R}}.

      Si {n\ge k+2}, on a {S_{n}(x)-S_{n-1}(x)=\dfrac{1}{x-n^{2}}}.

      En particulier {S_{n}(\mu_{n-1,k})=\dfrac{1}{\mu_{n-1,k}-n}\lt 0}.

      Ainsi {S_{n}(\mu_{n-1,k})\lt S_{n}(\mu_{n,k})}, donc {k^2\lt \mu_{n,k}\lt \mu_{n-1,k}\lt (k+1)^2}.

      La suite {(\mu_{n,k})_{n>k}} est donc strictement décroissante.

      Elle est minorée donc convergente, de limite {\ell_{k}\in [k^2,(k+1)^2[}.

    • {S} est définie sur {\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{k^{2},\;k\in\mathbb{N}\}} (comparaison série de Riemann).

      Posons {u_{k}(x)=\dfrac{1}{x-k^{2}}}, et soit {I} un segment inclus dans {\mathscr{D}}.

      Il existe {k_{0}\in\mathbb{N}} tel que {I\subset\,]-\infty,k_{0}^{2}\,[}.

      On a alors, pour {m\in\mathbb{N},\;x\in I,\;k> k_{0}} :
      {\left|{u_{k}^{(m)}(x)}\right|=\dfrac{m!}{(k^{2}-x)^{m+1}}\le \dfrac{m!}{(k^{2}-k_{0}^{2})^{m+1}}}Ainsi les séries de fonctions {\displaystyle\sum_{k\ge0}u_{k}^{(m)}(x)} convergente normalement sur {I}.

      Il en découle que {S} est {\mathscr{C}^{\infty}} sur {\mathscr{D}}.

      De plus, on peut dériver la somme terme à terme, autant de fois que nécessaire.

    • Sur {\mathscr{D}}, on a {S'(x)=-\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(x-k^{2})^2}\lt 0}.

      Ainsi {S} décroit strictement par intervalle.

      Pour {k\in\mathbb{N}}, on a {S(x)=\dfrac{1}{x-k^{2}}+\displaystyle\sum_{m\ne k}\dfrac{1}{x-m^2}\stackrel{x\to k}\sim\dfrac{1}{x-k^{2}}}.

      Ainsi {S} est bijective de {]J_k[} sur {\mathbb{R}}.

      Elle s’annule donc en un unique {\alpha_{k}\in\,J_k}.

    • Dans cette question, on fixe {k} dans {\mathbb{N}}. Pour {n>k}, on a : {S(\mu_{n,k})=\underbrace{S_{n}(\mu_{n,k})}_{=0}+\displaystyle\sum_{m=n+1}^{+\infty}\dfrac1{\mu_{n,k}-m^2}=\displaystyle\sum_{m=n+1}^{+\infty}\dfrac1{\mu_{n,k}-m^2}}Pour {n>k}, on a donc : {\left|{S(\mu_{n,k})}\right|=\displaystyle\sum_{m=n+1}^{+\infty}\dfrac1{m^{2}-\mu_{n,k}}\le\displaystyle\sum_{m=n+1}^{+\infty}\dfrac1{m^{2}-(k+1)^{2}}}Mais {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\displaystyle\sum_{m=n+1}^{+\infty}\dfrac1{m^{2}-(k+1)^{2}}=0} (suite des restes d’une série convergente).

      Ainsi {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S(\mu_{n,k})=0} donc {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\mu_{n,k}=\alpha_{k}}

      (ce dernier résultat par continuité de de {S^{-1}\colon J_k\to\mathbb{R}}).