Racines du polynôme dérivé (bis)

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Pour {n\in\mathbb{N}^*}, soit {Q_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)} et {S_{n}=\dfrac{Q_{n}'}{Q_{n}}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{X-k^2}}.

    • Si {n>k\ge0}, montrer que {Q'_{n}} a une unique racine {\mu_{n,k}\in J_k=\,]k^2,(k\!+\!1)^2[}.
    • Prouver que {(\mu_{n,k})_{n>k}} décroît strictement. On note {\ell_{k}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\mu_{n,k}}.
  1. On définit la fonction {x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{x-k^2}}.

    • Montrer que {S} est {\mathscr{C}^{\infty}} sur son domaine de définition.
    • Pour tout {k\in\mathbb{N}}, montrer que {S} s’annule en un unique {\alpha_{k}\in J_k},
    • On fixe {k} dans {\mathbb{N}}. {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S(\mu_{n,k})=0}. En déduire {\ell_{k}=\alpha_{k}}.

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