Puissances et racines de matrices

(Oral Centrale Mp)
Soit {\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^4)}, canoniquement associée à {A=\begin{pmatrix}0&1&1&0\cr -1&-2&1&-2\cr 2&6&-1&4\cr 4&8&-4&7\end{pmatrix}}.

  1. Donner une base de {\mathbb{R}^4} où la matrice de {\varphi} est {T=\begin{pmatrix}1&1&0&0\cr 0&1&1&0\cr 0&0&1&0\cr 0&0&0&1\end{pmatrix}}

  2. Déterminer les suites {(\alpha_{n})_{n\in\mathbb{N}}}, {(\beta_{n})_{n\in\mathbb{N}}} et {(\gamma_{n})_{n\in\mathbb{N}}} telles que :{\forall\,n\in\mathbb{N},\;A^n=\alpha_{n}A^2+\beta_{n}A+\gamma_{n}I_{4}}
  3. Pour tout {x} réel, soit {B(x)} obtenue en remplaçant {n} par {x} dans l’écriture de {A^{n}} trouvée à la question précédente (donc {B(n)=A^n} pour tout {n\in\mathbb{N}}).

    • Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, montrer que {B(-n)=A^{-n}}.
    • En considérant le développement limité de {\sqrt[n]{1+x}} en {x=0}, à l’ordre {2}, montrer comment former une matrice {C} telle que {C^n=A}.
      Vérifier que {C=B(1/n)} (avec les notations précédentes).

    • Former {M} telle que {e^{M}=A}, où {\text{e}^{M}=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}M^k}.

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  1. Il s’agit de trouver {u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}} libres tels que {\begin{cases}\varphi(u_{1})=u_{1},\;\varphi(u_{4})=u_{4}\cr\varphi(u_{2})=u_{1}+u_{2}\cr\varphi(u_{3})=u_{2}+u_{3}\end{cases}}

    En posant {\psi=\varphi-\text{Id}}, cela équivaut à {\begin{cases}\psi(u_{1})=\psi(u_{4})=0\cr u_{2}=\psi(u_{3}), u_{1}=\psi^2(u_{3})\end{cases}}

    On choisit {u_{3}\not\in\ker(\psi^2)}, {u_{2}=\psi(u_{3})}, {u_{1}=\psi(u_{2})}.

    On complète enfin {u_{1}} en une base de {\ker(\psi)}.

    Pour cela, on forme {N=A-I_{4}}, on calcule {N^2} et on vérifie que {N^3=0} : {\begin{array}{c}N=\begin{pmatrix}-1&1&1&0\\-1&-3&1&-2\\2&6&-2&4\\4&8&-4&6\end{pmatrix}\\\\{N}^{2}= \begin{pmatrix} 2&2&-2&2\\-2&-2&2&-2\\4&4&-4&4\\4&4&-4&4\end{pmatrix},\quad{N}^{3}= 0\end{array}}

    On choisit par exemple {u_{3}=e_{3}=(0,0,0,1)} (il n’est pas dans {\text{Ker}(\psi^2)}.

    Ensuite {u_{2}=\psi(u_{3})=(0,-2,4,6)} et {u_{1}\psi(u_{2})=\psi^2(u_{3})=(2,-2,4,4)}.

    On choisit {u_{4}=(1,0,1,0)} qui complète {u_{1}} en une base de {\ker\psi}.

    La matrice de passage de la base canonique à la base {(u)} est : {P=\begin{pmatrix} 2&0&0&1\\-2&-2&0&0\\4&4&0&1\\4&6&1&0\end{pmatrix}}

  2. Pour tout {n} de {\mathbb{N}} : {A^n=(I_{4}+N)^n=I_{4}+nN+\dfrac{n(n-1)}{2}N^2\text{\ car\ }N^{3}=0}On obtient :{\begin{array}{rl}A^n&=I+n(A-I_{4})+\dfrac{n(n-1)}{2}(A^2-2A+I_{4})\\\\&=\alpha_{n}A^2+\beta_{n}A+\gamma_{n}I_{4}\end{array}}où on a posé : {\alpha_{n}=\dfrac{n(n-1)}{2},\;\beta_{n}=n(2-n),\;\gamma_{n}=\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}}L’unicité de {(\alpha_{n})_{n\in\mathbb{N}}}, {(\beta_{n})_{n\in\mathbb{N}}}, {(\gamma_{n})_{n\in\mathbb{N}}} découle de {I_{4},A,A^2} libres.

    • On a {B(n)=A^n=I_{4}+nN+\dfrac{n(n-1)}{2}N^2}.

      De même {B(-n)=I_{4}-nN-\dfrac{n(n+1)}{2}N^2}.

      On développe en utilisant {N^3=0} : {B(n)B(-n)=I_{4}+\Bigl(\dfrac{n(n-1)}{2}-n^2-\dfrac{n(n+1)}{2}\Bigr)N^2=I_{4}}Ainsi {B(-n)=B(n)^{-1}=A^{-n}}.

      La formule {A^n=B(n)} est donc valable pour tout {n} de {\mathbb{Z}}.

    • On a le développement limité : {\begin{array}{rl}\sqrt[n]{1+x}&=(1+x)^{1/n}=1+\dfrac{x}{n}+\dfrac{1}{2n}\Bigl(\dfrac1n-1\Bigr)x^2+\text{O}(x^3)\\\\&=1+\dfrac{x}{n}-\dfrac{n-1}{2n^2}x^2+\text{O}(x^3)\end{array}}On élève l’égalité {1+\dfrac{x}{n}-\dfrac{n-1}{2n^2}x^2=(1+x)^{1/n}+\text{O}(x^3)} à la puissance {n}.

      Ainsi {\Bigl(1+\dfrac{x}{n}-\dfrac{n-1}{2n^2}x^2\Bigr)^n=1+x+x^3R_{n}(x)}, où {R_{n}(x)} est un polynôme.

      On substitue {N} à {x} et on obtient : {C^n=I_{4}+N=A\text{\ avec\ }C=I_{4}+\dfrac{1}{n}N-\dfrac{n-1}{2n^2}N^2=B\Bigl(\dfrac1n\Bigr)}Conclusion : pour tout {n\in\mathbb{N}^*}, la matrice {C=B\Bigl(\dfrac1n\Bigr)} vérifie {C^n=A}.

    • L’idée est de trouver {M} qui soit un “logarithme” de {A=I_{4}+N}.

      On sait que {\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\text{O}(x^3)}. On choisit donc {M=N-\dfrac12N^2}.