Matrices de Householder

(Exercice d’oral Centrale Mp)
On munit {\mathbb{R}^n} de son produit scalaire canonique.
Pour {v\in\mathbb{R}^n}, on note {[v]} la matrice-colonne associée à {v} dans la base canonique.
Si {v\ne0}, soit {h(v)} la réflexion de {\mathbb{R}^n} par rapport l’hyperplan {(\mathbb{R} v)^{\bot}}.
Soit {H(v)} la matrice de {h(v)} dans la base canonique {(e)}.
On complète cette définition en posant {h(0)=\text{Id}}, donc {H(0)=\text{I}_{n}}.

  1. Montrer que, pour {v\ne0} dans {\mathbb{R}^n}, on a {H(v)=\text{I}_{n}-2\dfrac{[v]{[v]}^{\top}}{\left\|{v}\right\|^2}}.
  2. Soit {u=(a_{1},\ldots,a_{n})} un élément de {\mathbb{R}^n}.

    Soit {j} dans {[[ 1,n]]}. On note {u_{j}=(0,\ldots,0,a_{j},\ldots,a_{n})}. On pose : {\begin{array}{rl}v_{j}&=u_{j}+\varepsilon \left\|u_{j}\right\|\,e_{j}\\\\&=(0,\ldots,0,a_{j}+\varepsilon\left\|u_{j}\right\|,a_{j+1},\ldots,a_{n})\end{array}\text{\ où\ }\begin{cases}\varepsilon=1\text{\ si\ }a_{j}\ge0\cr \varepsilon=-1\text{\ sinon}\end{cases}}

    • Montrer que {v_{j}} est nul si et seulement si {u_{j}} est nul.
    • Si {u_{j}\ne0}, soit {h_{j}} la réflexion par rapport à {(\mathbb{R} v_{j})^\bot} (sinon {h_{j}=\text{Id}}).

      Montrer que {h_{j}(u)=u-v_{j}=(a_{1},\ldots,a_{j-1},-\varepsilon\left\|u_{j}\right\|,0,\ldots,0)}.

  3. Soit {M} une matrice réelle, carrée d’ordre {n}, inversible.

    • En s’inspirant de ce qui précède, montrer qu’il existe une famille {v_{1},v_{2},\ldots,v_{n-1}} de vecteurs de {\mathbb{R}^n} tels que, pour tout {k} de {[[ 1,n-1]]}, les coefficients sous-diagonaux des {k} premières colonnes de la matrice {T_{k}=H(v_{k})\cdots H(v_{2})H(v_{1})M} soient nuls.
    • En déduire l’existence d’une matrice orthogonale {\Omega} et d’une matrice triangulaire supérieure {T} telles que {M=\Omega T}.

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