La suite de Perrin

(Oral Centrale Mp)
On pose {u_0=3}, {u_1=0}, {u_2=2}, et : {\forall\, n\ge3,\;u_n=u_{n-2}+u_{n-3}}.
L’objectif de l’exercice est de montrer la propriété {\mathcal{(P)}} : {(\mathcal{P}) :\text{pour tout entier premier\ }p,\,u_p\text{\ est divisible par\ }p}

On note {r_1,r_2,r_3} les trois racines de {P(X)=X^3-X-1} dans {\mathbb{C}}.

On définit la série entière réelle {f(t)=\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n\,t^n}.

  1. Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, montrer que {u_n=r_1^n+r_2^n+r_3^n}.

    Préciser le rayon de convergence {R} de {f(t)}.

  2. Pour {-R\lt t\lt R}, calculer {f(t)} sous forme de fraction rationnelle.
  3. On pose {t\mapsto\varphi(t)=-\ln(1-t^2-t^3)}.
    Justifier que {\varphi} est développable en série entière : {\varphi(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}v_nt^n}.

    Établir une relation entre {u_n} et {v_n}, pour {n\ge 1}.

  4. Soit {p} un entier premier. Montrer que {v_p} est un rationnel donc le dénominateur (dans la forme simplifiée de {v_p}) est premier avec {p}. En déduire que {u_p} est divisible par {p}.

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  1. Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, posons {s_n=r_1^n+r_2^n+r_3^n}.

    Il est clair que {s_{n}=s_{n-2}+s_{n-3}} pour tout {n\ge3}.

    Les relations coefficients-racines donnent {\sigma_1=0}, {\sigma_2=-1} et {\sigma_3=1}.

    On a ensuite {s_0=3}, {s_1=\sigma_1=0}, {s_2=\sigma_1^2-2\sigma_2=2}.

    Ainsi {u_n=s_n} pour tout {n\ge0} (même récurrence, mêmes conditions initiales).

    Le rayon de CV de {f(t)} est {R=\min\Bigl(\dfrac{1}{\left|{r_1}\right|},\dfrac{1}{\left|{r_2}\right|},\dfrac{1}{\left|{r_3}\right|}\Bigr)}. On trouve {R\approx 0.755}

    • Voici une première méthode. Pour tout {t} de {]-R,\,R\,[}, on a : {\begin{array}{rl}(t^2+t^3)f(t)&=(t^2+t^3)\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\,t^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\,t^{n+2}+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\,t^{n+3}\\\\&=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}u_{n-2}\,t^{n}+\displaystyle\sum_{n=3}^{+\infty}u_{n-3}\,t^{n}=3t^2+\displaystyle\sum_{n=3}^{+\infty}(u_{n-2}+u_{n-3})\,t^{n}\\\\&=3t^2+\displaystyle\sum_{n=3}^{+\infty}u_{n}\,t^{n}=f(t)+t^2-3\end{array}}Conclusion : pour tout {t\in\,]-R,\,R\,[}, on a {f(t)=\dfrac{3-t^2}{1-t^2-t^3}}
    • Voici une deuxième méthode. Pour tout {t\in]-R,R\,[}, on a : {\begin{array}{rl}f(t)&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(r_1^n+r_2^n+r_3^n)t^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(r_1t)^n+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(r_2t)^n+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(r_3t)^n\\\\&=\dfrac{1}{1-r_1t}+\dfrac{1}{1-r_2t}+\dfrac{1}{1-r_3t}\\\\&=\dfrac{(1-r_2t)(1-r_3t)+(1-r_1t)(1-r_3t)+(1-r_1t)(1-r_2t)}{(1-r_1t)(1-r_2t)(1-r_3t)}\\\\&=\dfrac{3-2\sigma_1t+\sigma_2t^2}{1-\sigma_1t+\sigma_2t^2-\sigma_3t^3}=\dfrac{3-t^2}{1-t^2-t^3}\end{array}}
    • Variante : {f(t)} est la somme des {y=\dfrac{1}{1-xt}}{x} décrit {\{r_1,r_2,r_3\}}.

      On a {y=\dfrac{1}{1-xt}\Leftrightarrow x=\dfrac{y-1}{ty}}. Ensuite : {\begin{array}{rl}P(x)&=0\Leftrightarrow \dfrac{(y-1)^3}{t^3y^3}-\dfrac{y-1}{ty}-1=0\\\\&\Leftrightarrow (1-t^2-t^3)y^3-(3-t^2)y^2+...\text{\ and it's over.}\end{array}}

  2. Cela découle de {f(t)-3=\dfrac{3t^3+2t^2}{1-t^2-t^3}=t\,\varphi'(t)}.

    Il en résulte {u_n=n\,v_n} pour tout {n} de {\mathbb{N}^*}.

  3. Sur {]-R,\,R\,[}, on a le développement : {\begin{array}{rl}\varphi(t)&=-\ln(1-t^2-t^3)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(t^2+t^3)^k}{k}\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{(t^2+t^3)^k}{k}+o(t^p)\end{array}}Le coefficient de {t^p} est somme de rationnels dont les dénominateurs sont dans {\{1,\ldots,p-1\}}. Une forme réduite de {v_p} est donc un rationnel {\dfrac{a}{b}} dont le dénominateur est premier avec {p}.

    On a {u_p=pv_p=p\dfrac{a}{b}} donc {bu_p=pa}.

    Puisque {p\wedge b=1}, Gauss dit que {p} divise {u_p}.