Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)n+a

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Pour tout {a\in\mathbb{R}}, on pose {u_{n}(a)=\Bigl(1+\dfrac1n\Bigr)^{n+a}} (avec {n\ge1}).

On sait que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n}(a)=\text{e}}. On va étudier les suites {u(a)}.

  1. Développer {u_{n}(a)}, quand {n\to+\infty}, à la précision {\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}.

    En déduire la position de {u_{n}(a)} par rapport à {\text{e}} quand {n\to+\infty}.

  2. Pour tout {x\ge0}, on pose {F(x)=\dfrac{1}{\ln\Bigl(1+\dfrac1x\Bigr)}-x}.

    • Montrer que {F} est strictement croissante sur {\mathbb{R}^{+*}}.
    • En déduire que :

      ‣ ({u(a)} est majorée par {\text{e}}) {\iff a\le a_{0}=\dfrac{1}{\ln2}-1\approx 0.442695}.

      ‣ ({u(a)} est minorée par {\text{e}}) {\iff a\ge\dfrac12}.

  3. On fixe {a\in\mathbb{R}}. On pose {G(x)=\Bigl(1+\dfrac1x\Bigr)^{x+a}} pour {x\ge1}.

    • Étudier {x\mapsto H(x)= x(x+1)G'(x)=G(x)(H(x)-a)} pour {x\ge 1}.
    • En déduire les variations de {G} et la monotonie de la suite {u(a)}.

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  1. On trouve : {\begin{array}{rl}u_{n}(a)&=\exp\bigg((n+a)\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)\bigg)\\\\&=\text{e}\biggl(1+\Bigl(a-\dfrac{1}{2}\Bigr)\dfrac{1}{n}+\Bigl(\dfrac{11}{24}-a+\dfrac12\,{a}^{2}\Bigr)\dfrac{1}{n^{2}}+\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)\biggr)\end{array}}Quand {a\ne\dfrac{1}{2}}, on a : {u_{n}(a)-e\sim\dfrac{\text{e}}{n}\left(a-\dfrac12\right)}.

    Et quand {a=\dfrac{1}{2}}, on a : {u_{n}\Bigl(\dfrac12\Bigr)-e\sim \dfrac{\text{e}}{12\,n^{2}}}.

    Ainsi, quand {n\to+\infty} : si {a\lt \dfrac12} on a {u_{n}(a)\lt \text{e}}, et si {a\ge\dfrac12} on a {u_{n}(a)>\text{e}}.

    • Pour {x>0}, on a : {F'(x)=\dfrac{1}{x^{2}\bigl(1+\dfrac{1}{x}\bigr)\ln^{2}\bigl(1+\dfrac{1}{x}\bigr)}-1}.

      Soit {x=\dfrac{1}{\text{e}^{t}-1}} donc {1+\dfrac{1}{x}=\text{e}^{t}}. On trouve : {\begin{array}{rl}F'(x)&=\dfrac{(\text{e}^{t}-1)^{2}\text{e}^{-t}}{t^{2}}-1=\dfrac{\text{e}^{t}-2+\text{e}^{-t}-t^{2}}{4\,t^{2}}\\\\&=\dfrac{1}{2t^{2}}\Bigl(\,\text{ch}(t)-1-\dfrac{t^2}{2}\Bigr)>0\end{array}}

    • Pour {a\in\mathbb{R}}, on a : {\begin{array}{rl}\big(\forall\, n\ge1,\;u_{n}(a)\le \text{e}\bigr)&\Leftrightarrow \Big(\forall\, n\ge 1,\;(n+a)\ln\bigl(1+\dfrac1n\bigr)\le1\Bigr)\\\\&\Leftrightarrow \big(\forall\, n\ge 1,\;a\le F(n)\bigr)\end{array}}Ainsi, avec la croissance de {F} : {\begin{array}{l}u(a)\text{\ est majorée par e}\\\\\Leftrightarrow \bigl(a\le a_{0}=F(1)=\dfrac{1}{\ln2}-1\approx 0.442695041\bigr)\end{array}}De même : {\begin{array}{rl}\bigl(\forall\, n\ge 1,\;u_{n}(a)\ge\text{e}\bigr)&\Leftrightarrow \bigl(\forall\, n\ge 1,\;a\ge F(n)\bigr)\\\\&\Leftrightarrow\bigl(a\ge\displaystyle\lim_{n\to+\infty}F(n)=\dfrac12\bigr)\end{array}}La suite {u(a)} est donc minorée par {\text{e}\iff a\ge\displaystyle\lim_{n\to+\infty}F(n)=\dfrac12}
    • Pour tout {x\ge 1}, on trouve successivement : {H(x)=x(x+1)\dfrac{G'(x)}{G(x)}+a=x(x+1)\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)-x}{H'(x)=(2x+1)\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)-2=(2x+1)K(x)} où on a posé {K(x)=\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)-\dfrac{2}{2x+1}}. On a :{\forall\, x\ge1,\;K'(x)=-\dfrac{1}{x(x+1)(2x+1)^{2}}\lt 0\text{\ et\ }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}K(x)=0}Ainsi : {\forall\, x\ge1,\;K(x)>0}, donc {H'(x)>0}.

      De plus {H(1)=2\ln2-1} et {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}H(x)=\dfrac12}.

      Ainsi {H} est bijective strictement croissante de {[1,+\infty[} sur {\Bigl[2\ln2-1,\dfrac12\Big[}.

    • Par définition de {H(x)}, {G'(x)} a le signe de {H(x)-a} pour {x\ge1}.

      • Si {a\ge\dfrac12}, on a {G'(x)\lt 0} sur {[1,+\infty[}: alors {u(a)} est strictement décroissante.
      • Si {a\le2\ln2-1}, on a {G'(x)>0} sur {]1,+\infty[}, donc {u(a)} croît strictement.
      • Si {2\ln2-1\lt a\lt \dfrac12}, posons {\beta=H^{-1}(a)} (on a {\beta>1}).

        On a {2\ln 2-1\approx0.386294361}.

        La fonction {G} croît strictement sur {[1,\beta]} et décroît strictement sur {[\beta,+\infty[}.

        Si {\beta\ge2}, c’est-à-dire {a\ge H(2)=6\ln(3/2)-2\ (\approx0.432790649)}, alors la suite {u(a)} est d’abord décroissante (on a en tout cas {u_{1}(a)>u_{2}(a)}) puis croissante.

        Si {1\lt \beta\lt 2}, c’est-à-dire si {2\ln2-1\lt a\lt 6\ln(3/2)-2}, alors {u(a)} croît pour {n\ge2}, et il reste à comparer {u_{1}(a)=2^{1+a}} et {u_{2}(a)=(3/2)^{2+a}}. On a : {\begin{array}{rl}u_{1}(a)\lt u_{2}(a)&\Leftrightarrow (1+a)\ln2\lt (2+a)(\ln3-\ln2)\\\\&\Leftrightarrow a\lt \alpha=\dfrac{\ln9-\ln8}{\ln 4-\ln3}\approx 0.4094208402\end{array}}

      On peut donc conclure sur la monotonie de la suite {u(a)} :

      Si {a\lt \alpha=\ln(9/8)/\ln(4/3)\approx 0.4094208402}, elle est strictement croissante.

      Si {\alpha\le a\lt 1/2}, elle est d’abord décroissante puis croissante.

      Si {a\ge1/2}, elle est strictement décroissante.