Accélération de convergence (Aitken)

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Soit {I} un intervalle réel d’intérieur non vide.

Soit {f:I\to I}, de classe {\mathcal{C}^{2}}, telle que {M=\sup\limits_{x\in I}\left|{f'(x)}\right|\lt 1}.

On suppose : {\exists\, \alpha\in I,\;f(\alpha)=\alpha} et {\rho=f'(\alpha)\ne0}.

On définit {(u_{n})_{n\ge0}} par {u_0\in I} et {\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=f(u_n)}.

On pose : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;e_{n}=u_{n}-\alpha,\;v_{n}=\rho^{-n}e_n}.

  1. Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}\left|{e_{n}}\right|} converge.

    En déduire : {\exists\, \lambda\in\mathbb{R},\;u_n=\alpha + \lambda \rho^n + \text{o}(\rho^n)}.

  2. Montrer qu’on a en fait un développement : {u_n=\alpha + \lambda \rho^n + \mu \rho^{2n} +\text{o}\big( \rho^{2n} \big)}
  3. Soit {D_{n}} la droite passant par {(u_{n-1},u_{n})} et {(u_n,u_{n+1})}.

    On suppose qu’elle est bien définie et non parallèle à {\Delta:(y=x)}.

    On note {x_n} l’abscisse du point d’intersection de {D_{n}} avec {\Delta}.

    Montrer que {(x_{n})_{n\ge0}} converge vers {\alpha}, et que {x_n - \alpha =\text{o}( u_n - \alpha)}.

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