Une série numérique à paramètre

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Pour tout {n} dans {\mathbb{N}}, on pose {u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}.

  1. Justifier l’existence de {S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}, pour tout {p\in\mathbb{N}^{*}}.

  2. Montrer que {\dfrac1{\sqrt{1-x}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}x^n} pour {\left|x\right|\lt 1}, on a
  3. En déduire que pour tout {p\in\mathbb{N}^{*}}, on a {S(p)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{p-1}}{\sqrt{1-x}}\,\text{d}x}.
  4. Montrer finalement que: {\forall\, p\in\mathbb{N}^*,\;S(p)=\dfrac{1}{p\,u_{p}}}.

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