Produit de Hadamard dans Sn,+(ℝ)

(Oral X-Cachan 2017)
Soit {S_{n}^{+}(\mathbb{R})} l’ensemble des {M\in S_{n}(\mathbb{R})} telles que : {\forall u\in \mathbb{R}^{n},\;u^{\top}Mu\geq 0}.

  1. Montrer que {S_{n}^{+}(\mathbb{R})} est stable par addition et produit par un réel positif.
    Montrer que pour tout {u\in \mathbb{R}^{n}}, on a {S=u\,u^{\top}\in S_{n}^{+}(\mathbb{R})}.

  2. Soit {M} dans {S_n(\mathbb{R})}. Montrer que : {M\in\mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})\Leftrightarrow \text{Sp}(M)\subset\mathbb{R}^+}.

  3. Le produit d’Hadamard de deux matrices est leur produit terme à terme.
    Ainsi, pour {A=(a_{ij}),B=(b_{ij})} dans {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})}, on pose {A\otimes B=(a_{ij}b_{ij})}.
    Montrer que {S_{n}^{+}(\mathbb{R})} est stable par le produit d’Hadamard.

  4. Soit {(u_{1},\ldots,u_{n})} des vecteurs de {\mathbb{R}^{n}}. Soit {k\in \mathbb{N}} et {\lambda\in \lbrack 0,+\infty \lbrack }.
    Soit {S=(s_{ij})\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, où {s_{ij}=(u^{\top}_{i}u_{j}+\lambda)^{k}}. Montrer {S\in S_{n}^{+}(\mathbb{R})}.

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On notera {\| \ \|} la norme euclidienne canonique sur {\mathbb{R}^n}.

  1. Soit {(A,B) \in S_{n}^{+}(\mathbb{R})}, et {\lambda\ge 0}. Alors {A+B} et {\lambda A} sont symétriques.

    Pour {u\in \mathbb{R}^n}, on a {\begin{cases}u^{\top}(A+B)\,u=u^{\top}A\,u+u^{\top}B\,u\geqslant 0\\ u^{\top}(\lambda\,A)\,u=\lambda\, u^{\top}A\,u\geqslant 0\end{cases}}

    Ainsi {S_{n}^{+}(\mathbb{R})} est stable par addition et produit par un réel positif.

    Soit {u\in \mathbb{R}^n}. Alors {(uu^{\top})^{\top}=(u^{\top})^{\top}u^{\top}=uu^{\top}} donc {uu^{\top}\in S_n(\mathbb{R})}.

    De plus : {\forall\,x\in \mathbb{R}^n,\;x^{\top}(uu^{\top})x=(ux)^{\top}ux=\|ux\|^2\geqslant 0}. Ainsi {uu^{\top}\in S_{n}^{+}(\mathbb{R})}.

  2. On applique le le théorème spectral à la matrice {M\in S_{n}(\mathbb{R})}.

    Soit {u_1, \ldots, u_n} une base orthonormée de vecteurs propres de {M} pour {\lambda_1, \ldots, \lambda_n}.

    Si {M\in S_{n}^{+}(\mathbb{R})} alors :{\forall\, i \in [[ 1,n]],\;u_i^{\top}Mu_i=u_i^{\top}\lambda_iu_i=\lambda_i\|u_i\|^2=\lambda_i \geqslant 0}et il en résulte {\text{Sp}(M)\subset\mathbb{R}^+}.

    Inversement, on suppose que les {\lambda_i} sont positifs. Soit {x=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_iu_i\in \mathbb{R}^n}.

    Alors {Mx=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_ix_iu_i} donc {x^{\top}Mx=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_ix_i^2\geqslant 0}.

    Ainsi {M\in S_{n}^{+}(\mathbb{R})}.

    • Rappelons qu’on identifie {\mathbb{R}^n} et {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.

      Soit {u,v \in \mathbb{R}^n}, puis {S=uu^{\top}} et {T=vv^{\top}}.

      Montrons que {S\otimes T\in S_n^+(\mathbb{R})}. Pour {(i,j)\in [[ 1,n]]}, on a : {\begin{array}{rl}[S\otimes T]_{i,j}&=[S]_{i,j}[T]_{i,j}=u_iu_jv_iv_j\\\\&=(u_iv_i)(u_jv_j)=[u\otimes v]_{i}[u\otimes v]_{j}\end{array}}Avec {z=u\otimes v\in \mathbb{R}^n}, on a : {[S\otimes T]_{i,j}=[zz^{\top}]_{i,j}}.

      Ainsi {S\otimes T=zz^{\top}\in S_{n}^{+}(\mathbb{R})}.

    • Montrons que toute {M\in S_n^{+}(\mathbb{R})} est somme de matrices {u u^{\top}}, avec {u\in\mathbb{R}^n}.

      Soit {P\in \mathcal O_n(\mathbb{R})} et {D=\text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)} (les {\lambda_i\ge0}) tels que {M=PDP^{\top}}.

      On note {e_i} le {i}-ème vecteur de la base canonique de {\mathbb{R}^n}.

      On observe que {e_ie_i^{\top}=E_{i,i}}. Ainsi : {\begin{array}{rl}M&=P\Bigl(\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_iE_{i,i}\Bigr)P^{\top}=P\Big(\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_iPe_ie_i^{\top}P^{\top}\Bigr)\\\\&=\displaystyle\sum_{i=1}^nx_ix_i^{\top}\text{\ avec\ }x_i=\sqrt{\lambda_i}\,Pe_i\end{array}}

    • Le produit de Hadamard {\otimes} est commutatif, associatif, distributif par rapport à l’addition.

      Soit {M,N} dans {S_n(\mathbb{R}^+)}, décomposés en {M=\displaystyle\sum_{i=1}^nx_ix_i^{\top}} et {N=\displaystyle\sum_{i=1}^ny_iy_i^{\top}}.

      Alors {M\otimes N=\sum\limits_{1\leq i,j\leq n}z_{i,j}\,z_{i,j}^{\top}} où {z_{i,j}= x_i\otimes y_j\in\mathbb{R}^n}.

      Comme les {Z_{i,j}=z_{i,j}\,z_{i,j}^{\top}} sont dans {S_n^{+}(\mathbb{R})}, il en est de même de {M\otimes N}.

  4. Soit {J\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} de coefficients tous égaux à {1}.

    Soit {U} la matrice de {(u_{1},\ldots, u_{n})} dans la base canonique.

    Pour {(i,j)\in [[ 1,n]]}, on a {u_i^{\top}u_j=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}[U]_{k,i}[U]_{k,j}=[U^{\top}U]_{i,j}}.

    Ainsi {u_i^{\top}u_j+c} est le terme d’indice {(i,j)} de {M=U^{\top}U+\lambda J}.

    De même {(u_i^{\top}u_j+\lambda)^k} est le terme d’indice {(i,j)} de : {M^{\otimes k}=M\otimes M\otimes \ldots \otimes M\ (k\;\text{facteurs})}Or {U^{\top}U\in S_n^{+}(\mathbb{R})} (symétrique et {x^{\top}U^{\top}Ux= (Ux)^{\top}(Ux)=\|Ux\|^2\geqslant 0}).

    De même {J\in S_n^+(\mathbb{R})}, et {\lambda\ge 0}.

    D’après (1) et (4) : {M\in S_n^{+}(\mathbb{R})} et {S=M^{\otimes k} \in S_n^{+}(\mathbb{R})}.

Voir aussi :