(Oral X-Cachan 2017)
Soit {S_{n}^{+}(\mathbb{R})} l’ensemble des {M\in S_{n}(\mathbb{R})} telles que : {\forall u\in \mathbb{R}^{n},\;u^{\top}Mu\geq 0}.
- Montrer que {S_{n}^{+}(\mathbb{R})} est stable par addition et produit par un réel positif.
Montrer que pour tout {u\in \mathbb{R}^{n}}, on a {S=u\,u^{\top}\in S_{n}^{+}(\mathbb{R})}.
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Soit {M} dans {S_n(\mathbb{R})}. Montrer que : {M\in\mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})\Leftrightarrow \text{Sp}(M)\subset\mathbb{R}^+}.
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Le produit d’Hadamard de deux matrices est leur produit terme à terme.
Ainsi, pour {A=(a_{ij}),B=(b_{ij})} dans {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})}, on pose {A\otimes B=(a_{ij}b_{ij})}.
Montrer que {S_{n}^{+}(\mathbb{R})} est stable par le produit d’Hadamard.
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Soit {(u_{1},\ldots,u_{n})} des vecteurs de {\mathbb{R}^{n}}. Soit {k\in \mathbb{N}} et {\lambda\in \lbrack 0,+\infty \lbrack }.
Soit {S=(s_{ij})\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, où {s_{ij}=(u^{\top}_{i}u_{j}+\lambda)^{k}}. Montrer {S\in S_{n}^{+}(\mathbb{R})}.
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