Matrices complètement inversibles

(Oral X-Cachan 2017)
Dans {\mathbb{R}^n} euclidien, on note {S_n} la sphère unité de {\mathbb{R}^n}.
Pour {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} on note : {\mathcal{F}(A)=\Bigl\{\dfrac{x^{\top}A\,x}{x^{\top}x},\;x\in \mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}\Big\}=\{x^{\top}A\,x,\;x\in S_n\}\subseteq \mathbb{R}}

  1. Montrer que {\mathcal{F}(A)} est un intervalle.
    Montrer que cet intervalle contient les valeurs propres réelles éventuelles de {A}.
  2. Dans cette question, on suppose {A} symétrique.
    Montrer que {\mathcal{F}(A)} est un segment et préciser ses bornes.
  3. On dit que {A} est entièrement inversible si {0\not\in \mathcal{F}(A)}.
    Montrer qu’alors {A^{-1}} existe et est entièrement inversible.
    Montrer que toute sous-matrice obtenue en supprimant les mêmes lignes/colonnes de {A} est complètement inversible.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Vous devez être abonné(e) et connecté(e) au site pour voir ce contenu