Suites numériques (4/5)

Une suite {(u_n)_{n\ge0}} est dite arithmétique s’il existe un scalaire {r} tel que : {\forall\, n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_n+r}.
Le scalaire {r} est appelé raison de la suite arithmétique. Il est défini de façon unique.
Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a : {u_n=u_0+nr}.

• Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite arithmétique de raison {r}.
  Si {\mathbb{K}=\mathbb{R}} et si {r>0} (resp. {r\lt 0}), elle est strictement croissante (resp. strictement décroissante).
  Pour tous {n,p} de {\mathbb{N}}, on a : {u_n=u_p+(n-p)r}.
• Une suite arithmétique {u} n’est convergente que si sa raison {r} est nulle (et alors {u} est constante).
• Réciproquement, on suppose que le terme général d’une suite {(u_n)_{n\ge0}} s’écrit {u_n=a+nb}.
  Alors la suite {(u_n)_{n\ge0}} est arithmétique de premier terme {u_0=a} et de raison {b}.
• Soit {S} la somme de {n} termes consécutifs d’une suite arithmétique.
  Soit {d} le terme débutant, et {f} le terme finissant cette progression : alors {S=n\dfrac{d+f}{2}}.

Une suite {(u_n)_{n\ge0}} est arithmétique si et seulement si : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_n+u_{n+2}=2u_{n+1}}.
On dit que {a}, {b}, {c} sont en progression arithmétique s’ils sont consécutifs dans une suite arithmétique.
Cela équivaut à dire que {a+c=2b}.