(Mines-Ponts 2018)
Soit {\displaystyle\sum_{n\ge1}\lambda_{n}} convergente (avec les {\lambda_{n}\gt0}).
Soit {(X_{n}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_n))_{n\geq 1}} des v.a.r. indépendantes.
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Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}\mathbb{P}(X_{n}\;{=}\mathllap{\;/\,}\, 0)} converge.
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Interpréter {A=\displaystyle\bigcap\limits_{n\ge1}\,\displaystyle\bigcup\limits_{k\geq n}\{X_{k}\;{=}\mathllap{\;/\,}\, 0\}}.
Montrer que {\mathbb{P}(A)=0}.
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Montrer que la série {\displaystyle\sum{X_{n}}} est presque sûrement convergente.
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Soit {Y,Z} deux variables à valeurs dans {\mathbb{N}}.
Montrer que, pour tout {t\in[0,1]} : {|G_{Y}(t)-G_{Z}(t)|\leq 2\,\mathbb{P}(Y\;{=}\mathllap{\;/\,}\,Z)}
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Montrer que {S=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}X_{n}\leadsto\mathcal{P}\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda_k\Bigr)}.
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