Polynômes (8/8)

Soit {F=\dfrac AB} une fraction rationnelle à coefficients complexes, écrite sous forme irréductible.
Soit {\alpha_1,\ldots,\alpha_p} les pôles distincts de {F}, de les multiplicités respectives {r_1,\ldots,r_p}.
Alors {F} s’écrit de manière unique :{F=E_{F}+{\displaystyle\sum_{k=1}^p}\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{r_k}\dfrac{\lambda_{k,j}}{(X-\alpha_k)^j}\right)}où {E_{F}} est la partie entière de {F} et où les {\lambda_{k,j}} sont des éléments de {\mathbb{C}}.
Cette écriture est appelée décomposition en éléments simples de {F} dans {\mathbb{C}(X)}.

Par exemple, considérons la fraction rationnelle suivante : {F=\dfrac{X^{12}+1}{X^{4}(X-i)^{2}(X+1)(X-j)^{3}}}

Le degré de {F} est : {12-(4+2+1+3)=2}.

Les racines de son dénominateur sont {0,i,-1,j} et aucune d’elles n’est racine du numérateur.

La fraction rationnelle {F} est donc écrite sous forme irréductible. Ses pôles sont {0} (quadruple), {i} (double), {-1} (simple) et {j} (triple).

Sa décomposition en éléments simples dans {\mathbb{C}(X)} s’écrit donc sous la forme : {\begin{array}{rrll}F(X)&=&a X^{2}+bX+c\\[3pts]&&\text{(partie entière : polynôme degré 2)}\\\\&+&\dfrac{\alpha_{4}}{X^{4}}+\dfrac{\alpha_{3}}{X^{3}}+\dfrac{\alpha_{2}}{X^{2}}+\dfrac{\alpha_{1}}{X}\\[6pts]&&\text{(partie polaire du pôle quadruple 0)}\\\\&+&\dfrac{\beta_{2}}{(X-i)^{2}}+\dfrac{\beta_{1}}{X-i}\\[6pts]&&\text{(partie polaire du pôle double i)}\\\\&+&\dfrac{\gamma_{1}}{X+1}\\[6pts]&&\text{(partie polaire du pôle simple -1)}\\\\&+&\dfrac{\delta_{3}}{(X-j)^{3}}+\dfrac{\delta_{2}}{(X-j)^{2}}+\dfrac{\delta_{1}}{X-j}\\[6pts]&&\text{(partie polaire du pôle triple j)}\end{array}}Le calcul de tous ces coefficients demande une technicité qui n’est pas dans l’esprit du programme.
On se contentera donc, dans la suite de cette section, de situations assez élémentaires.

Ce qui précède s’applique aux fractions rationnelles réelles dont le dénominateur est scindé dans {\mathbb{R}[X]}.

Dans ce cas, les coefficients qui apparaissent dans la décomposition sont tous des nombres réels.

Par exemple, considérons la fraction rationnelle irréductible {F(X)=\dfrac{X^{3}+X+1}{X^{5}(X-1)^{2}}}.

Le degré de {F} est {-4} : il est strictement négatif donc la partie entière {E_{F}} est nulle.

Ses pôles sont {0} (multiplicité {5}), et {1} (multiplicité {2}).

Sa décomposition en éléments simples dans {\mathbb{R}(X)} s’écrit donc sous la forme : {\begin{array}{rl}F(X)&=\dfrac{\alpha_{5}}{X^{5}}+\dfrac{\alpha_{4}}{X^{4}}+\dfrac{\alpha_{3}}{X^{3}}+\dfrac{\alpha_{2}}{X^{2}}+\dfrac{\alpha_{1}}{X}\\[9pts]&\quad+\dfrac {\beta_{2}}{(X-1)^{2}}+\dfrac{\beta_{1}}{X-1}\end{array}}(où les {\alpha_{k}} et les {\beta_{k}} sont réels)