Nombre dérivé, fonction dérivée

Plan du chapitre "Dérivabilité"

Dérivabilité en un point, nombre dérivé

Dans tout ce chapitre, on considère des fonctions qui sont définies sur un intervalle ${I}$ de ${\mathbb{R}}$ non réduit à un point, et qui sont à valeurs dans ${\mathbb{R}}$ .

On se place au voisinage d’un point ${A(a,f(a))}$ de la courbe représentative ${(\Gamma)}$ de ${f}$ .

Soit ${M(x,f(x))}$ un point mobile sur ${(\Gamma)}$ , avec ${x\ne a}$ .

La droite ${\Delta_{x}}$ passant par ${A}$ et ${M}$ a pour coefficient directeur de ${\Delta_{x}}$ est ${\delta_{x}=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ .

Quand ${x}$ tend vers ${a}$ (donc sur la figure ci-dessous quand ${M}$ se rapproche de ${A}$ sur ${(\Gamma)}$ ) on examine si ${\Delta_{x}}$ (qui pivote autour de ${A}$ ) possède une position limite ${\Delta}$ (c’est-à-dire si ${\delta_{x}}$ possède une valeur limite).

Si tel est le cas, on dit que la droite ${\Delta}$ est la tangente en ${A}$ à la représentation graphique ${(\Gamma)}$ .

Définition (nombre dérivé en un point)
Soit

{f:I\to\mathbb{R}}

une fonction numérique réelle. Soit

{a}

un élément de

{I}

.
On dit que

{f}

est dérivable en

{a}

{\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}

existe dans

{\mathbb{R}}

.
Cette limite est appelée nombre dérivé de

{f}

{a}

et est notée

{f'(a)}

, ou

{D(f)(a)}

, ou

{\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}(a)}

Interprétation géométrique

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