Nilpotent plus diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie.
Soit

{n}

un endomorphisme nilpotent de

{E}

Montrer que ${\det(\text{Id}+n)=1}$ .
Soit ${v\in\text{GL}(E)}$ tel que ${vn=nv}$ .
Montrer que ${\det(v+n)=\det(v)}$ .
Soit ${d}$ diagonalisable tel que ${dn=nd}$ .
Montrer que ${\det(d+n)=\det(d)}$ .

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