| (Oral Mines-Ponts) Soit {F} l’ensemble des fonctions {f} de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {[0,1]} telles que {f(0)=0} et {f(1)=1}. Montrer que : {\forall\,f\!\in\!F,\displaystyle\int_{0}^{1}\!|f'(t)-f(t)|\,\text{d}t>\dfrac{1}{\text{e}}}. Montrer que : {\displaystyle\inf_{f\in F}\displaystyle\int_{0}^{1}\!|f'(t)-f(t)|\,\text{d}t=\dfrac{1}{\text{e}}}. |