Limites et continuité (3/5)

Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique, et soit {a} un élément de {I}. On dit que {f} est continue en {a} si la limite de {f} en {a} existe.
{f} étant définie en {a}, cela équivaut à : {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}.
Donc {f} est continue en {a} si et seulement si : {\begin{array}{l}\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\\[9pts]\quad(x\in I\;\text{et}\; |x-a|\le\delta)\Rightarrow|f(x)-f(a)|\le \varepsilon\end{array}}

Soit {I} un intervalle d’intérieur non vide. Soit {a} un élément de {I}.
Soit {f} une fonction numérique réelle définie sur {I\setminus\{a\}}.
On dit que {f} est prolongeable par continuité en {a} si la limite {\ell=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)} existe et est finie.
Si on pose {f(a)=\ell}, la fonction {f} ainsi prolongée img continue en {a}.
On dit qu’on a effectué le prolongement par continuité de {f} au point {a}.

On représente ici une partie de la courbe de {f:x\mapsto \arctan(\tan^{2}(x))}.

Cette fonction est définie sauf aux {a_{k}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi}, mais {\displaystyle\lim_{x\to a_{k}^{-}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a_{k}^{+}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}}.

Si on pose {f\Bigl(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\Bigr)=\dfrac{\pi}{2}}, la fonction {f} devient continue en tout point de {\mathbb{R}} (elle est {\pi}-périodique).

Soit {f:I\to\mathbb{R}}. Soit {a} un élément de {I}, qui n’en soit pas l’extrémité gauche.
Posons {J=I\,\cap\,]-\infty,a]} : l’intervalle {J} est d’intérieur non vide, et {a} est son extrémité droite.
Soit {g} la restriction de {f} à {J}. On dit que {f} est continue à gauche en {a} si {g} est continue en {a}.
Cela équivaut à {\displaystyle\lim_{x\to a-}f(x)=f(a)} ou encore à : {\begin{array}{l}\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\\[9pts]\quad(a-\delta\le x\le a)\Rightarrow|f(x)-f(a)|\le\varepsilon\end{array}}

Soit {f:I\to\mathbb{R}}. Soit {a} un élément de {I}, qui n’en soit pas l’extrémité droite.
Posons {J=I\,\cap\,[a,+\infty[} : l’intervalle {J} est d’intérieur non vide, et {a} est son extrémité gauche.
Soit {g} la restriction de {f} à {J}. On dit que {f} est continue à droite en {a} si {g} est continue en {a}.
Cela équivaut à {\displaystyle\lim_{x\to a+}f(x)=f(a)} ou encore : {\begin{array}{l}\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\\[9pts]\quad(a\le x\le a+\delta)\Rightarrow|f(x)-f(a)|\le\varepsilon\end{array}}

Soit {a} un point intérieur à l’intervalle {I}. Soit {f} une fonction de {I} dans {\mathbb{R}}.
Alors {f} est continue en {a} si et seulement si {f} est continue à droite et à gauche en {a}.

On a représenté ci-dessous la fonction {f:x\mapsto x-\lfloor{x}\rfloor}.
En tout point de {\mathbb{Z}}, la fonction {f} est continue à droite mais pas à gauche.
Pour tout {a} de {\mathbb{Z}}, on a en effet : {\displaystyle\lim_{x\to a^{-}}f(x)=1} et {\displaystyle\lim_{x\to a^{+}}f(x)=0=f(a)}.

Soit {f} une fonction numérique réelle, définie sur l’intervalle {I}. Soit {a} un point de {I}.
Si {f} n’est pas continue en {a}, on dit que {f} est discontinue en ce point.
Si {a} est intérieur à {I}, si {f} est discontinue en {a}, mais si les limites à gauche et à droite en {a} existent et sont finies, on dit que {f} présente en {a} une discontinuité de première espèce.

Si {f} est discontinue en {a}, et si l’une au moins des deux limites (à gauche ou à droite) en {a} n’existe pas (ou est infinie), on dit que la discontinuité de {f} en {a} est de seconde espèce.

C’est le cas notamment de la discontinuité de la fonction {x\mapsto\cos(1/x)} à l’origine (quelle que soit la valeur qu’on serait tenté de donner à {f(0)}) :

Soit {f} une fonction numérique réelle, définie sur l’intervalle {I}. Soit {a} un point de {I}.
La fonction {f} est continue en {a} si et seulement si, pour toute suite {(u_n)} de {I} convergeant vers {a}, la suite de terme général {f(u_n)} converge vers {f(a)}.

Ce résultat est utile pour montrer que {f} n’est pas continue en un point {a} : il suffit en effet de construire une suite {(u_n)} convergeant vers {a}, mais telle que la suite {(f(u_n))} ne converge pas vers {f(a)}.