Ker(u+v) et Im(u+v) pour u,v dans S+(E)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-espace vectoriel euclidien.
Soit

{S^+(E)}

l’ensemble des endomorphismes symétriques à spectre inclus dans

{\mathbb{R}^{+}}

Montrer que, pour tout ${u\in S(E)}$ , ${E=\text{Ker}(u)\oplus\text{Im}\,u}$ .
Soit ${u}$ , ${v\in S^{+}(E)}$ . Montrer qu’il existe ${v\in S^{+}(E)}$ tel que ${u=v^{2}}$ .
Soit ${u,v\in S^{+}(E)}$ . Montrer que ${\begin{cases}\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}(u)\cap\text{Ker}(v)\\\text{Im}\,(u+v)=\text{Im}\,(u)+\text{Im}\,(v)\end{cases}}$

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