X Mp/Mpi Calcul différentiel

Planches X, filière Mp/Mpi
Dérivation, calcul différentiel

{(f_n)}

est CVS, montrer la CVU sur les segments.

{xf'(x)/f(x)\to a}

{+\infty}

, déterminer la limite de

{f(mx)/f(x)}

Conséquences

{f,f',f'',f^{(3)}>0}

et de

{f^{(3)}\lt f}

{f}

positive décroissante vérifie une borne stricte sur

{ff''/(f')^2}

, montrer que

{xf(x)\to0}

{f(x)\!+\!Cx^2/2}

{-\!f(x)\!+\!Cx^2/2}

sont convexes, montrer que

{f}

est dérivable.

Fonctions à variation bornée et décomposition en différence de fonctions croissantes.

Construire

{f\in C^\infty([0,1])}

dont les maxima locaux forment une suite croissante fixée de limite 1.

Connaissant des majorations de

{\|f\|_\infty}

{\|f^{(r)}\|_\infty}

, majorer les

{\|f^{(k)}\|_\infty}

pour

{1\le k\le r}

Majorer

{pe^{(1-p)t}+(1-p)e^{-pt}}

par

{\operatorname{ch}t}