Ens Mp/Mpi Suites et séries

Planches Ens, filière Mp/Mpi
Suites et séries

Contrôler les écarts d’une moyenne empirique, avec une hypothèse d’intégrabilité.

Une marche aléatoire symétrique revient-elle indéfiniment à l’origine ?

Étudier

{\int_0^a f(t)^n\,\mathrm{d}t}

quand

{f}

est décroissante et

{f(t)=1-t+o(t)}

en 0.

Construire une suite telle que

{\sum a_n^\alpha}

converge exactement pour

{\alpha\geqslant1}

Démontrer l’irrationalité de

{e}

à l’aide des intégrales

{I_n=\int_0^1x^ne^x\,\mathrm{d}x}

Une intégrale définit implicitement un unique

{c_n\in[0,1]}

. Déterminer

{\lim nc_n^n}

Démontrer l’irrationalité de

{\pi}

grâce à une suite d’intégrales positives.

Le calcul d’une limite passe par une somme de Riemann.

Étudie des moyennes géométriques des termes d’une série positive convergente.

Convergence de

{\sum b_n}

{(b_n)}

décroit et

{b_n\le a_n}

Le nombre

{\sum_{n\geqslant0}10^{-n!}}

est transcendant.

Convergence des suites

{x_{n+2}=(1+x_{n+1})/x_n}