Calculs algébriques (3/3)

Dans cette partie, {\mathbb{K}} désigne {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}. Conformément au programme, on introduit ici la notation de système linéaire de {n} équations à {p} inconnues, à coefficients dans {\mathbb{K}}. Certaines notions théoriques ne sont abordées qu’au second semestre.

On appelle système linéaire de {n} équations, à {p} inconnues et à coefficients dans {\mathbb{K}} tout système d’équations de la forme :
{{\text{(S)}\,}\begin{cases}a_{11}\,x_1\!+\!a_{12}\,x_2\!+\!\cdots\!+\!a_{1j}\,x_j\!+\!\cdots\!+\!a_{1p}\,x_p=b_1&\cr a_{21}\,x_1\!+\!a_{22}\,x_2\!+\!\cdots\!+\!a_{2j}\,x_j\!+\!\cdots\!+\!a_{2p}\,x_p=b_2&\cr\vdots\cr a_{i1}\,x_1\,\!+\!a_{i2}\,x_2\,\!+\!\cdots\,\!+\!a_{ij}\,x_j\!+\!\cdots\!+\!a_{ip}\,x_p=b_i&\cr\vdots\cr a_{n1}\,x_1\!+\!a_{n2}\,x_2\!+\!\cdots\!+\!a_{nj}\,x_j\!+\!\cdots\!+\!a_{np}\,x_p=b_n\end{cases}}Les {a_{ij}\in\mathbb{K}} sont appelés les coefficients du système.
Les {b_i\in\mathbb{K}} sont appelés les seconds membres.
On dit que l’élément {u=(x_1,x_2,\ldots,x_p)} de {\mathbb{K}^p} est le {p}-uplet des inconnues du système.
On dit que {u=(x_1,x_2,\ldots,x_p)} est une solution du système si les valeurs {x_1,x_2,\ldots,x_p} satisfont à chacune des égalités figurant dans (S).

• Si {p\le 4}, les inconnues seront souvent notées {x,y,z,t} (par exemple) plutôt que {x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}.
• Dans le cas {n=p}, on parle de système « carré »
• Le système {(S)} est dit « sur-déterminé » si {n>p} (plus d’équations que d’inconnues). Il est dit « sous-déterminé » {n\lt p} (moins d’équations que d’inconnues).
• Dans certains cas, l’écriture d’un système linéaire {(S)} peut comporter un (ou plusieurs!) paramètre(s). Il faut alors résoudre en discutant suivant les valeurs du ou des paramètres.
• Un système linéaire est dit homogène si ses seconds membres {b_i} sont nuls.
  À un système linéaire {(S)} on associe donc un système homogène (H) en annulant les seconds membres.