Intégration (2/3)

Soit {f:[a,b]\to\mathbb{R}} une fonction continue par morceaux, à valeurs réelles.
Pour tout {\varepsilon>0}, il existe deux fonctions en escaliers {\varphi} et {\psi} sur {[a,b]} telles que :

• pour tout {x} de {[a,b]}, {\varphi(x)\le f(x)\le\psi(x)}.
• pour tout {x} de {[a,b]}, {0\le\psi(x)-\varphi(x)\le\varepsilon}.

Soit {f:[a,b]\to\mathbb{R}} une fonction continue par morceaux à valeurs réelles.
On considère les deux quantités suivantes :

• {I_{-}(f)=\displaystyle\sup_{\varphi\le f}\int_{[a,b]}\varphi}, borne supérieure sur les {\varphi} en escaliers telles que {\varphi\le f}.
• {I^{+}(f)=\displaystyle\inf_{\psi\ge f}\int_{[a,b]}\psi}, borne inférieure sur les {\psi} en escaliers telles que {\psi\ge f}.

Alors {I_{-}(f)} et {I^{+}(f)} sont des réels égaux.
Leur valeur commune est appelée intégrale de {f} sur {[a,b]}, et elle est notée {\displaystyle\int_{[a,b]}f}.

Si {f} est en escaliers, donc continue par morceaux, les deux significations de {\displaystyle\int_{[a,b]}f} coïncident.

Soit {f:[a,b]\to\mathbb{R}} une fonction continue par morceaux.

L’intégrale de {f} sur {[a,b]} représente l’aire algébrique du domaine situé entre la courbe {y=f(x)} et l’axe {Ox}, cette « aire » étant comptée positivement sur les intervalles où {f\ge0} et négativement sur les intervalles où {f\le0}. Numériquement, le résultat est exprimé en unités d’aire (ua).

Soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction à valeurs complexes, continue par morceaux.

Soit {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}. On pose :{\displaystyle\int_{[a,b]}f=\displaystyle\int_{[a,b]}u\;+\;i\displaystyle\int_{[a,b]}v}

Soit {f:[a,b]\to\mathbb{K}}, continue par morceaux.
Soit {\alpha} un nombre réel.

On définit la fonction {g} de {J=[a+\alpha,b+\alpha]} dans {\mathbb{K}} par {g(t)=f(t-\alpha)}.

Alors {g} est continue par morceaux et {\displaystyle\int_J\,g=\displaystyle\int_I\,f}.