Intégration (1/3)

On appelle subdivision de {[a,b]} toute suite finie {(x_0=a\lt x_1\lt \ldots\lt x_{n-1}\lt x_n=b)}.
L’ensemble {\{a=x_0,\ldots,x_k,\ldots,x_n=b\}} est appelé le support de la subdivision.
La quantité {h=\max(x_{k+1}-x_k)} est appelée le pas de la subdivision.

Soit {\sigma} et {\sigma'} deux subdivisions de {[a,b]}.
On dit que {\sigma} est plus fine que {\sigma'} si le support de {\sigma} contient celui de {\sigma'}.

La subdivision notée {\sigma\cup\sigma'} et dont le support est la réunion de ceux de {\sigma} et de {\sigma'} est plus fine que chacune des subdivisions {\sigma} et {\sigma'}.

Réciproquement si une subdivision de {[a,b]} est plus fine que {\sigma} et {\sigma'}, alors elle est plus fine que {\sigma\cup\sigma'}.

Soit {\varphi} une fonction définie sur {[a,b]}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On dit que {\varphi} est en escaliers sur {[a,b]} s’il existe une subdivision {\sigma=(x_k)_{0\,\le\,k\,\le\,n}} de {[a,b]} et
s’il existe {n} scalaires {\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1}} tels que : {\forall\, k=0,\ldots,n-1,\;\forall\, t \in\;]x_k,x_{k+1}[,\;\varphi(t)=\lambda_k}On dit alors que la subdivision {\sigma} est adaptée (ou encore subordonnée) à la fonction {\varphi}.
On note {\mathcal{E}([a,b],\mathbb{K})} l’ensemble des fonctions en escaliers sur {[a,b]} et à valeurs dans {\mathbb{K}}.

La figure ci-dessous représente une fonction en escaliers {\varphi} sur le segment {[a,b]}, à valeurs réelles.

On n’a pas représenté les valeurs de {\varphi} aux points {x_k}, car ces valeurs sont sans importance.

• Si {\sigma} est une subdivision adaptée à {\varphi}, toute subdivision plus fine que {\sigma} est adaptée à {\varphi}.
• Les fonctions constantes sur {[a,b]} sont des cas particuliers de fonctions en escaliers.
• Si {\varphi} et {\psi} sont en escaliers sur {[a,b]}, alors : {\forall\,(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}^2,\;\alpha \varphi+\beta \psi} est en escaliers sur {[a,b]}.
  Plus généralement, toute combinaison linéaire de fonctions en escaliers est encore en escaliers.
  De même le produit {\varphi\psi} est en escaliers sur {[a,b]}.

Soit {I} un intervalle de {\mathbb{R}} d’intérieur non vide. Soit {\varphi} une fonction de {I} dans {\mathbb{K}}.
On dit que {\varphi} est en escaliers sur {I} si {\varphi} est en escaliers sur tout segment de {I}.

Par exemple, l’application « partie entière » {x\mapsto\lfloor x\rfloor} est en escaliers sur {\mathbb{R}}.