Calcul intégral (2/5)

Si {f:I\to\mathbb{R}} est une fonction continue, elle admet des primitives sur {I}.

Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique continue. Soit {a,b} deux éléments de {I}.
On note {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x} la quantité {F(b)-F(a)}, où {F} est une primitive quelconque de {f} sur {I}.
Cette quantité est appelée intégrale de {f} sur le segment {[a,b]} (ou « entre {a} et {b}« ).

• Si {f} vaut constamment {\lambda} sur {I}, alors on a : {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x=\lambda(b-a)}.
• La quantité {F(b)-F(a)}, notée {\bigl[F(x)\bigr]_{a}^{b}}, ne dépend pas de la primitive {F} choisie pour {f}.
• Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique continue. Soit {a} un élément de {I}.
  Alors la fonction {F:x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,\text{d}t} est la primitive de {f} sur {I} qui s’annule en {a}.
  Le nom de la « variable d’intégration » (ici {t}) doit être différent de celui de variable (ici {x}) de {F}.
• Quand on calcule {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x}, on dit qu’on « intègre » {f} sur le segment {[a,b]}.
  Même si les deux notions sont très liées, on ne confondra pas la primitivation de {f} sur {I} (qui est l’art de chercher les primitives de {f} sur {I}, donc les fonctions dont la dérivée est {f}) avec l’intégration de {f} sur un segment {[a,b]} de {I} (le résultat est dans ce cas un réel).

Soit {f} et {g} deux fonctions continues sur {I}. Soit {a} et {b} deux éléments de {I}.
Pour tous réels {\alpha,\beta}, on a : {\displaystyle\int_{a}^{b}\!(\alpha f(x)\!+\!\beta g(x))\text{d}x\!=\!\alpha\displaystyle\int_{a}^{b}\!\!f(x)\text{d}x\!+\!\beta\displaystyle\int_{a}^{b}\!\!g(x)\text{d}x}

Soit {f} et {g} deux fonctions continues sur le segment {[a,b]}, avec {a\lt b}.
Si {f\ge0} sur {[a,b]}, alors on a : {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\ge0} (avec égalité {\Leftrightarrow f(x)=0} sur tout {[a,b]}).
Si {f\le g} sur {[a,b]}, alors {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\le\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\,\text{d}x} (avec égalité {\Leftrightarrow f(x)=g(x)} sur tout {[a,b]}).
Remarque : l’hypothèse {a\lt b} est ici essentielle.

Soit {f:I\to\mathbb{R}}, continue. Soit {a,b,c} dans {I}.
Alors {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{a}^{c}f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{c}^{b}f(x)\,\text{d}x}.

Historiquement, la notion d’intégrale est liée au calcul d’aire de domaines du plan.

Notre définition de l’intégrale possède l’avantage d’être rapidement opérationnelle, mais elle recèle une difficulté qui ne peut pas être levée à ce stade de l’année.

Contentons-nous d’admettre que si {f} est continue et positive ou nulle sur {[a,b]}, avec {a\le b}, alors l’intégrale de {f} sur {[a,b]} est une mesure de l’aire du domaine défini par {a\le x\le b} et {0\le y\le f(x)}.

L’aire est exprimée en « unités d’aires », l’unité étant l’aire du rectangle délimité par {(0,0)} et {(1,1)}.

On peut étendre cette interprétation au cas d’une fonction ne gardant pas un signe constant, à condition de « compter positivement » les parties où {f\ge0} et négativement celles où {f\ge0}.