Suites et séries de fonctions (2/2)

Soit {(f_{n})_{n\ge0}} une suite de fonctions continues sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On suppose que la suite {(f_n)_{n\ge0}} converge uniformément sur {I} vers une fonction {f}.
Alors la fonction {f} est elle-même continue sur {I}.

On peut utiliser cette propriété pour montrer qu’il n’y a pas convergence uniforme : si la suite de fonctions continues {(f_n)} converge simplement vers {f} sur {I}, mais si {f} n’est pas continue sur {I} (ne serait-ce qu’en un point), alors il n’y a pas convergence uniforme.

Exemple très simple : sur {[0,1]}, la suite de fonctions continues {x\mapsto x^{n}} est simplement convergente vers {g} définie par {g(x)=0} sur {[0,1[} et {g(1)=1}. La fonction {g} n’étant pas continue en {1}, la convergence de {(f_{n})_{n\ge0}} n’est pas uniforme sur {[0,1]}.

On dit qu’une suite {f_{n}\colon I\to \mathbb{K}} converge uniformément sur tout segment de {I} si, pour tous {a,b} de {I} la suite des restrictions des {f_{n}} à {[a,b]} converge uniformément sur {[a,b]}.

Avec cette définition, et si {I} n’est pas lui-même un segment, le résultat de la proposition « continuité de la limite » est encore valable si on remplace l’hypothèse «convergence uniforme sur {I}» par l’hypothèse plus faible «convergence uniforme sur tout segment de {I}».

Soit {(f_{n})_{n\ge0}} une suite de fonctions définies sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
Soit {a} une extrémité de l’intervalle {I} (éventuellement {a=-\infty} ou {a=+\infty}).

On suppose que la suite {(f_n)_{n\ge0}} converge uniformément sur {I} vers une fonction {f}.
On suppose aussi que, pour tout {n} de {\mathbb{N}}, la fonction {f_{n}} possède une limite finie {\ell_{n}} en {a}.
Dans ces conditions :

• la suite numérique {(\ell_{n})} admet une limite {\ell'}
• la fonction {f} admet une limite au point {a}, et cette limite est égale à {\ell'}

Si on cite les hypothèses avec précision, le résultat se résume à : { \displaystyle\lim_{x\to a}\big(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_n(x)\big)=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\big(\displaystyle\lim_{x\to a}f_n(x)\big)}

Soit {(f_n)} une suite de fonctions continues sur {[a,b]}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On suppose que {(f_n)_{n\ge0}} converge uniformément sur {[a,b]} vers {f} (donc {f} est continue).
Alors la suite {n\mapsto\displaystyle\int_a^bf_n(t)\,\text{d}t} converge et :{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\displaystyle\int_a^b\!\!f_n(t)\text{d}t =\displaystyle\int_a^b\!\!f(t)\text{d}t\displaystyle=\displaystyle\int_a^b\,\displaystyle\!\!\lim_{n\to+\infty}f_n(t)\text{d}t}Si on cite les hypothèses avec précision, le résultat se résume à : {\displaystyle\int_a^b\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_n(t)\,\text{d}t=\lim_{n\to+\infty}\,\displaystyle\int_a^bf_n(t)\,\text{d}t}Par contraposition, cela peut aider à montrer qu’il n’y a pas convergence uniforme.

Soit {(f_{n})_{n\ge0}} une suite de fonctions de classe {\mathcal{C}^{1}} sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.

1. on suppose que la suite {(f_{n})_{n\ge0}} est simplement convergente, sur {I}, vers une fonction {f}.
2. on suppose aussi que {{(f'_{n})}_{n\ge0}} converge uniformément sur {I} vers une fonction {h}.

Dans ces conditions :

• la convergence de la suite {(f_{n})_{n\ge0}} vers {f} est uniforme sur tout segment de {I}.
• la fonction {f} est {\mathcal{C}^{1}} sur {I} et on a {f'=h}.

Si on cite les hypothèses avec précision, le résultat se résume à : {\big(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_n\big)'=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f'_n}.

Dans l’énoncé précédent, on peut montrer qu’on n’a pas besoin de la convergence simple de la suite {(f_{n})_{n\ge0}} sur tout l’intervalle {I} : il suffit en effet de savoir qu’il existe un point {a} de {I} pour lequel la suite numérique {(f_{n}(a))_{n\ge0}} est convergente.

Si {I} n’est pas lui-même un segment, le résultat «{f} est {\mathcal{C}^{1}} sur {I} et {f'=h}» est encore valable si on remplace l’hypothèse «{(f'_{n})_{n\ge0}} converge uniformément vers {h} sur {I}» par l’hypothèse plus faible «{(f'_{n})_{n\ge0}} converge uniformément vers {h} sur tout segment de {I}».

Soit {(f_{n})_{n\ge0}} une suite de fonctions de classe {\mathcal{C}^{k}} sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.

On suppose que, pour tout {j} de {\llbracket 0,k-1\rrbracket}, la suite {{(f_{n}^{(j)})}_{n\ge0}} est simplement convergente sur {I}.
On note en particulier {f} la limite de la suite {(f_{n})_{n\ge0}}.

On suppose enfin que la suite {{(f_{n}^{(k)})}_{n\ge0}} est uniformément convergente, sur {I}, vers une fonction {h}. Dans ces conditions :

• la convergence de la suite {(f_{n})_{n\ge0}} vers {f} est uniforme sur tout segment de {I}.
• la fonction {f} est {\mathcal{C}^{k}} sur {I} et on a {f^{(k)}=h}.

Si on cite les hypothèses avec précision, le résultat se résume à : {\big(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_n\big)^{(k)}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_n^{(k)}}.

Si {I} n’est pas lui-même un segment, le résultat «{f} est {\mathcal{C}^{k}} sur {I} et {f^{(k)}=h}» est encore valable si on remplace l’hypothèse «{(f_{n}^{(k)})_{n\ge0}} converge uniformément vers {h} sur {I}» par l’hypothèse plus faible «{(f_{n}^{(k)})_{n\ge0}} converge uniformément vers {h} sur tout segment de {I}».

• Suite convergente de polynômes
• Suite des itérées d’une fonction
• Polynômes et suite de Fibonacci
• Une suite de fonctions
• Convergence uniforme
• Fonctions équi-lipschitziennes
• Dérivabilité dun produit infini