Suites particulières

Plan du chapitre "Suites numériques"

Suites arithmétiques

On note toujours ${\mathbb{K} =\mathbb{R}}$ ou ${\mathbb{C}}$ .

Définition (définition des suites arithmétiques)
Une suite

{(u_n)_{n\ge0}}

est dite arithmétique s’il existe un scalaire

{r}

tel que :

{\forall\, n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_n+r}

.
Le scalaire

{r}

est appelé raison de la suite arithmétique. Il est défini de façon unique.
Pour tout

{n}

{\mathbb{N}}

, on a :

{u_n=u_0+nr}

Quelques propriétés des suites arithmétiques

Soit ${(u_{n})_{n\ge0}}$ une suite arithmétique de raison ${r}$ .
Si ${\mathbb{K}=\mathbb{R}}$ et si ${r>0}$ (resp. ${r\lt 0}$ ), elle est strictement croissante (resp. strictement décroissante).
Pour tous ${n,p}$ de ${\mathbb{N}}$ , on a : ${u_n=u_p+(n-p)r}$ .
Une suite arithmétique ${u}$ n’est convergente que si sa raison ${r}$ est nulle (et alors ${u}$ est constante).
Réciproquement, on suppose que le terme général d’une suite ${(u_n)_{n\ge0}}$ s’écrit ${u_n=a+nb}$ .
Alors la suite ${(u_n)_{n\ge0}}$ est arithmétique de premier terme ${u_0=a}$ et de raison ${b}$ .
Soit ${S}$ la somme de ${n}$ termes consécutifs d’une suite arithmétique.
Soit ${d}$ le terme débutant, et ${f}$ le terme finissant cette progression : alors ${S=n\dfrac{d+f}{2}}$ .

Proposition (caractérisation des suites arithmétiques)
Une suite

{(u_n)_{n\ge0}}

est arithmétique si et seulement si :

{\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_n+u_{n+2}=2u_{n+1}}

Démonstration

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On dit que ${a}$ , ${b}$ , ${c}$ sont en progression arithmétique s’ils sont consécutifs dans une suite arithmétique.
Cela équivaut à dire que ${a+c=2b}$ .

Suites géométriques

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