| (Oral Mines-Ponts) Soient {M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Soient {\lambda,\mu} dans {\mathbb{C}}, distincts et non nuls. On suppose que {I_{n}= A + B}, {M = \lambda A + \mu B}, et {M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}. 1) Montrer que {M} est inversible et déterminer son inverse. 2) Montrer que {A} et {B} sont des matrices de projecteurs. 3) La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Déterminer son spectre. |