Polynômes stables

(Oral Centrale Mp)
On dit que {A \in \mathbb{R}[X]} est stable si ses racines {z} vérifient {\text{Re}(z)\lt 0}.

  1. Soit {A \in \mathbb{R}[X]} un polynôme unitaire.

    • Montrer que si {A} est stable alors tous ses coefficients sont strictement positifs.
    • Soit {n=\deg (A)}. On note {\alpha_1,\cdots,\alpha_n} les racines complexes de {A}.

      On pose {B(X)=\displaystyle\prod_{1 \leq i \lt j \leq n} (X - (\alpha_i + \alpha_j))}.

      Montrer que : ({A} stable) {\iff} {A} et {B} sont à coefficients {\gt 0}.

    • Soit {A=X^3+aX^2+bX+c\in\mathbb{R}[X]}, de racines {u,v,w}.
      À quelles conditions {A} est-il stable?
  2. Soient {\alpha_1, \cdots, \alpha_n} des nombres complexes.
    On note {\sigma_1,\cdots,\sigma_n} leurs fonctions symétriques élémentaires.
    Pour tout {k \in \mathbb{N}}, soit {S_k = \displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i^k}. On pose {P(t) = \displaystyle\prod_{i=1}^n (1-\alpha_i t)}.

    • Exprimer {P (t)} à l’aide de {\sigma_1,\cdots,\sigma_n}.
    • Développer en série entière la fonction {\varphi(t)=\dfrac{P'(t)}{P(t)}}.
    • En déduire une relation liant {\sigma_1,\cdots,\sigma_n} et les sommes {S_k}.
  3. On note pour tout {k \in \mathbb{N}}, {T_k = \displaystyle\sum_{1 \leq i \lt j \leq n} (\alpha_i + \alpha_j)^k}.
    On pose {f (t) = \displaystyle\sum_{i=1}^n e^{\alpha_i t}} et {g (t) = f (t)^2}.

    • Développer {f} en série entière et en déduire le développement de {g}.
    • Développer {g} autrement et en déduire une relation liant les {S_k} et les {T_k}.
    • Comment calculer les coefficients de {B} en fonction de ceux de {A} ?

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    • Il suffit de décomposer {A} en facteurs irréductibles sur {\mathbb{R}}.

      Chaque facteur irréductible est à coefficients strictement positifs donc {A} aussi.

    • Si {A} est stable, {B} aussi car {\text{Re}(\alpha_i + \alpha_j)=\text{Re}(\alpha_i)+\text{Re}(\alpha_j)\lt 0}.

      D’après la question précédente, {A} et {B} sont donc à coeffs {\gt0}.

      Réciproquement, si {a} est une racine réelle de {A}, alors {a\lt 0} car les coefficients de {A} sont strictement positifs. Si {a} est une racine complexe de {A}, alors {\bar{a}} l’est aussi donc {a+\bar{a}} est racine réelle de {B} donc est strictement négative puisque {B} est à coefficients {>0}.

    • On développe, et on utilise {\begin{cases}a=-(u+v+w)\\b=uv+uw+vw\\c=-uvw\end{cases}}. On trouve : {\begin{array}{rl}B &= (X - u - v)(X - u - w)(X - v - w)\\\\&=X^{3} + 2aX^{2} + (b + a^{2})X +ab-c\end{array}}Les conditions nécessaires et suffisantes sont donc : {a>0, (b>0), c>0, ab>c}
    • On a {t^n P\Bigl(\dfrac{1}{t}\Bigr)=\displaystyle\prod_{k=1}^n(t-\alpha_k)} donc {P(t)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \sigma_k t^k}.
    • On a {\varphi(t)=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{-\alpha_k}{1-\alpha_k t}} donc {\varphi(t)=-\displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty} S_{i+1} t^i} (rayon {>0}).

    • On a {P(t)\varphi(t)=P'(t)}, un produit de Cauchy (rayon {>0}) et l’unicité des coeffs.

      Ainsi {\displaystyle\sum_{k=0}^j (-1)^k \sigma_k S_{j-k+1} = (-1)^j (j+1) \sigma_{j+1} \text{ pour } j\leq n-1}

    • On a {f(t)=\displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{S_i}{i!}t^i} puis par produit de Cauchy : {g(t)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \Big[ \displaystyle\sum_{i=0}^{k}\frac{S_i S_{k-i}}{i!(k-i)!} \Big]t^{k}\text{\ (rayons infinis)}}

    • On a les égalités : {\begin{array}{rl}g(t)&=\Big(\displaystyle\sum_{k=1}^n e^{\alpha_k t}\Big)^2= \Big(\displaystyle\sum_{i=1}^n e^{\alpha_i t}\Big)\Big(\displaystyle\sum_{j=1}^n e^{\alpha_j t}\Big)\\\\&= \displaystyle\sum_{i=1}^n e^{2\alpha_i t}+ 2 \displaystyle\sum_{1 \leq i \lt j \leq n}e^{(\alpha_i+\alpha_j)t}\end{array}}Ce qui donne : {g(t)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\biggl( \frac{2 T_k+2^k S_k}{k!}\biggr)t^k}

      Ainsi : {T_k=-2^k S_k + \displaystyle\sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} S_i S_{k-i}}

    • On part de {A} donc de ses coefficients.

      Par les relations coefficients-racines, on en déduit les {\sigma_k}.

      On en déduit les {S_k} puis les {T_k} et enfin les fonctions symétriques élémentaires en les racines de {B} donc les coefficients de {B} toujours par les relations coefficients-racines.

      Il suffit alors de regarder si les coeffs de {A} et {B} sont tous {>0} pour savoir si {A} est stable.