Algèbre de matrices diagonalisables

(Oral Centrale Mp)
On appelle sous-algèbre de {{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} tout sous-espace de {{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, stable pour le produit, ne contenant pas nécessairement {I_{n}}. De même, une sous-algèbre de {{\mathcal L}(E)} est un sous-espace de {{\mathcal L}(E)}, stable pour la loi {\circ}, ne contenant pas nécessairement {\text{Id}_{E}}.

  1. On pose {M(a,b)=\begin{pmatrix} -6a+3b & 12a & -18a+6b \\ a & -2a & 3a \\ 3a-b & -6a & 9a-2b \end{pmatrix}}.

    Soit {{\mathcal A}=\{M(a,b),\;(a,b) \in \mathbb{R}^2\}}.

    • On note {A=M(1,0)} et {B=M(0,1)}.
      Montrer que {{\mathcal A}} est une sous-algèbre commutative de {{\mathcal M}_3(\mathbb{R})}.
    • Montrer que toutes les matrices de {\mathcal{A}} sont diagonalisables sur {\mathbb{R}}.
  2. Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension finie et {u \in {\mathcal L}(E)}.
    On pose {g\colon {\mathcal L}(E)\to {\mathcal L}(E),\;v\mapsto u v}.
    Montrer que si {u} est diagonalisable alors {g} l’est aussi.
    On admet qu’il en est de même pour {\theta\colon {\mathcal L}(E)\to {\mathcal L}(E),\;v\mapsto u v - v u}.
  3. Soit {{\mathcal A}} une sous-algèbre de {{\mathcal L}(E)} dont tous les éléments sont diagonalisables.

    • Soit {u \in {\mathcal A}}. Montrer que {\theta_{u}\colon {\mathcal A}\to{\mathcal A},\;v\mapsto u v - v u} est diagonalisable.
    • Soit {v} un vecteur propre de {\theta_u} associé à {\lambda}.
      Montrer que : {\forall\, k \in \mathbb{N}, \; \theta_u(v^k)=k \lambda v^k}.
      En déduire que le produit sur {{\mathcal A}} est commutatif.

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    • On a {{\mathcal A}=\text{Vect}(A,B)} avec {A=\begin{pmatrix}-6 & 12 & -18 \\1 & -2 & 3 \\3 & -6 & 9\end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 6 \\0 & 0 & 0 \\-1 & 0 & -2\end{pmatrix}}

      Donc {{\mathcal A}} est un sous-espace de {{\mathcal M}_3(\mathbb{R})}.

      Par ailleurs, on trouve {A^{2}=A}, {B^{2}=B} et {AB=BA=0}.

      Ainsi {{\mathcal A}} est une sous-algèbre commutative, et {I_{3}\notin\mathcal{A}}.

    • Les matrices {M=aA+bM} vérifient {M^{k}=(a^{k}A+b^{k}B)M} pour tout {k\ge1}.

      Par linéarité, on a {P(M)=P(a)A+P(b)B} pour tout {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(0)=0}.

      Elles sont donc annulées par {P=X(X-a)(X-b)}, donc {\text{Sp}(M)\subset\{0,a,b\}}.

      • Si {a,b,0} sont deux à deux distincts, la matrice {M(a,b)} est diagonalisable.
      • Si {b=0} et {a \neq 0}, il suffit de regarder la matrice de projection {A=M(1,0)}.

        On vérifie que {\begin{cases}\text{Ker}(A-I_{3})=\mathbb{R}(-6,1,3)\\\text{Ker}(A)=\mathbb{R}(-3,0,1)\oplus\mathbb{R}(2,1,0)\end{cases}}

      • Si {a=0} et {b \neq 0}, il suffit de regarder la matrice de projection {B=M(0,1)}.

        On vérifie que {\begin{cases}\text{Ker}(B-I_{3})=\mathbb{R}(-3,0,1)\\\text{Ker}(B)=\mathbb{R}(-2,0,1)\oplus\mathbb{R}(0,1,0)\end{cases}}

      • Si {a=b}, il suffit de regarder {M=M(1,1)=\begin{pmatrix}-3 & 12 & -12 \\1 & -2 & 3 \\2 & -6 & 7\end{pmatrix}}.

        On trouve {\begin{cases}\text{Ker} M=\mathbb{R}(-4,1,2)\\\text{Ker}(M-I_{3})=\mathbb{R}(3,1,0)\oplus\mathbb{R}(-3,0,1)\end{cases}}

      Toutes ces matrices sont diagonalisables.

  1. Pour tout {P\in\mathbb{K}[X]}, on a facilement {P(g)\colon v \mapsto P(u) v}. Si {u} est diagonalisable, {u} est annulé par un polynôme scindé à racines simples donc {g} aussi donc {g} est aussi diagonalisable. On pose {d : v \mapsto v u} et on a aussi {d} diagonalisable comme pour {g}. Comme {d} et {g} commutent, ils sont co-diagonalisables (classique, mais hors-programme). Ainsi, {\theta} l’est.
    • L’application {\theta_u} est bien définie car {{\mathcal A}} est une sous-algèbre.
      L’endomorphisme {\theta_u} est la restriction à {\mathcal{A}} (stable) de {\theta}, donc est diagonalisable.
    • Le calcul est facile par récurrence. L’endomorphisme {v} est diagonalisable non nul donc {v^k} n’est jamais nul donc c’est un vecteur propre de {\theta_u} associé à la valeur propre {k \lambda}.
      Comme {\theta_u} n’a qu’un nombre fini de valeurs propres, {\lambda=0}.

    Ainsi, {\text{Sp}(\theta_u)=\{0\}} et {\theta_{u}} est diagonalisable donc {\theta_u=0}. L’endomorphisme {u} (quelconque dans {\mathcal{A}}) commute avec tous les éléments de {{\mathcal A}}. Ainsi la sous-algèbre {{\mathcal A}} est commutative.