Une intégrale qui résiste

(Exercice d’oral Centrale Mp)
L’objectif est le calcul de {J=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,\text{d}x}{f(x)=\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}}.

On rappelle que {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}} et {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^4}=\dfrac{\pi^4}{90}}. On note {u_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{k^2}}.

  1. Montrer que {f} est intégrable sur {]0,1[}.

  2. Soit {\varphi(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\ln(1-t)}{t}\,\text{d}t}.
    Montrer que : {\forall\, x\in[-1,1],\;\varphi(x)=-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}}.

    1. Montrer que {J=-\dfrac12\varphi^{2}(1)+\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\varphi(x)\ln(x)}{1-x}\,\text{d}x}.

    2. Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\varphi(x)\ln(x)}{1-x}\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{(n+1)^{2}}}.
      • Pour tout {m\ge 2}, vérifier que {\displaystyle\sum_{n=1}^{m-1}\dfrac{u_{n}}{(n+1)^{2}}=\displaystyle\sum_{1\le k\lt n\le m}\dfrac{1}{(k\,n)^2}}
      • En déduire la valeur de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{(n+1)^{2}}}

      • Donner finalement la valeur de l’intégrale {J}.

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