Somme des inverses des “k parmi n”

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose {(S_{n})_{n\ge0}} définie par {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{\binom{n}{k}}}.

  1. Montrer que {2\le S_{n}\le 2+\dfrac2{n}+\dfrac{2(n-3)}{n(n-1)}} quand {n\ge4}.
    • Montrer que {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{k}{\binom{n}{k}}=\dfrac{n}{2}\,S_{n}} (effectuer un changement d’indice).
    • En déduire que {S_{n+1}=\dfrac{n+2}{2(n+1)}S_{n}+1}.
  2. En déduire l’existence et la valeur de trois polynômes {A,B,C} (non tous les trois nuls) tels que, pour tout {n} de {\mathbb{N}}: {A(n)S_{n+2}+B(n)S_{n+1}+C(n)S_{n}=0}.

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