Somme des inverses des “k parmi n”

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose {(S_{n})_{n\ge0}} définie par {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{\binom{n}{k}}}.

  1. Montrer que {2\le S_{n}\le 2+\dfrac2{n}+\dfrac{2(n-3)}{n(n-1)}} quand {n\ge4}.
    • Montrer que {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{k}{\binom{n}{k}}=\dfrac{n}{2}\,S_{n}} (effectuer un changement d’indice).
    • En déduire que {S_{n+1}=\dfrac{n+2}{2(n+1)}S_{n}+1}.
  2. En déduire l’existence et la valeur de trois polynômes {A,B,C} (non tous les trois nuls) tels que, pour tout {n} de {\mathbb{N}}: {A(n)S_{n+2}+B(n)S_{n+1}+C(n)S_{n}=0}.

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  1. On a {S_{n}\ge\dfrac{1}{\binom{n}{0}}+\dfrac{1}{\binom{n}{n}}=2} si {n\ge2}, et {S_{n}=2+\dfrac{2}{n}+\displaystyle\sum_{k=2}^{n-2}\dfrac{1}{\binom{n}{k}}} si {n\ge4}.

    On sait que {\dbinom{n}{k}\ge \dbinom{n}{2}} pour {2\le k\le n-2}.

    Ainsi : {\forall n\ge4,\;2\le S_{n}\le 2+\dfrac{2}{n}+\dfrac{2(n-3)}{n(n-1)}} (égalité quand {n=3}).

    Il en résulte bien sûr {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=2}.

    • On utilise le changement d’indice {k\mapsto n-k} et l’égalité {\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}}.

      On obtient {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{k}{\binom{n}{k}}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n-k}{\binom{n}{k}}}

      Il en résulte {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{k}{\binom{n}{k}}=\dfrac{n}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{\binom{n}{k}}=\dfrac{n}{2}\,S_{n}}.

    • On évalue {(n+1)S_{n+1}} sachant que {\dfrac{n+1}{\binom{n+1}{k}}=\dfrac{k}{\binom{n}{k-1}}} si {k\ge1} : {\begin{array}{rl}(n+1)S_{n+1}&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\dfrac{n+1}{\binom{n+1}{k}}=n+1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{k}{\binom{n}{k-1}}\\\\&=n+1+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{k+1}{\binom{n}{k}}\end{array}}La dernière somme s’écrit : {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{k}{\binom{n}{k}}+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{\binom{n}{k}}=\dfrac{n}{2}\,S_{n}+S_{n}=\dfrac{n+2}{2}\,S_{n}}Ainsi {(n+1)S_{n+1}=\dfrac{n+2}{2}\,S_{n}+n+1}.

      Autrement dit : {S_{n+1}=\dfrac{n+2}{2(n+1)}\,S_{n}+1}.

  2. Du résultat précédent, on tire : {\begin{cases}2(n+2)S_{n+2}=(n+3)S_{n+1}+2(n+2)\\(n+2)S_{n}=2(n+1)S_{n+1}-2(n+1)\end{cases}}

    Ainsi {\begin{cases}2(n+2)(n+1)S_{n+2}=(n+1)(n+3)S_{n+1}+2(n+1)(n+2)\\(n+2)^{2}S_{n}=2(n+2)(n+1)S_{n+1}-2(n+1)(n+2)\end{cases}}

    On additionne ces égalités et on trouve, pour tout {n} de {\mathbb{N}} :

    {2(n+2)(n+1)S_{n+2}+(n+2)^{2}S_{n}=(n+1)(3n+7)S_{n+1}}