Matrices semblables par blocs

(Oral Centrale Mp)

  1. Soient {a,b,c \in \mathbb{C}}. On pose {M=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}} et {N=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{pmatrix}}.
    Les matrices {M} et {N} sont-elles semblables ?
    Si c’est le cas, donner {P\in \text{GL}_2(\mathbb{C})} telle que {PMP^{-1}=N}.
  2. Soient {A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} et {M=\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\;N=\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}.
    Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

    • a) les matrices {M} et {N} sont semblables.
    • b) il existe {X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} telle que {AX=B}.
    • c) {\text{rg}(A \mid B)=\text{rg}(A)}{(A\mid B)} est obtenue en juxtaposant {A} et {B}.
  3. On pose {A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 6 & 1 \\ a & 7 & 2 \end{pmatrix}}.
    Les matrices {M=\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} et {N=\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} sont-elles semblables?

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    • Si {a=c}, alors {N} est la seule à être semblable à {N}.

      Ainsi {M} est semblable à {N} ssi {b=0}. Dans ce cas, {P=I_2} convient.

    • Si {a \neq c}, {M,N} sont diagonalisables de même spectre donc sont semblables.

      On cherche {P=\begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}. On trouve {PMP^{-1}=\begin{pmatrix}a & - a\,\alpha + b + \alpha \,c \\0 & c\end{pmatrix}}.

      Il suffit donc de prendre {P=\begin{pmatrix} 1 & \alpha\\ 0 & 1 \end{pmatrix}}, avec {\alpha=\dfrac{b}{a-c} }

    • {(b)\Rightarrow(a)}. La question précédente suggère de prendre {P=\begin{pmatrix}I & X \\ 0 & I \end{pmatrix}}.

      Un calcul par blocs montre que {PNP^{-1}=M} donc {M} et {N} sont semblables.

    • {(a)\Rightarrow(c)}. Si {M} et {N} sont semblables, elles ont même rang.

      On enleve les lignes de {0} sans changer le rang donc {(A|B)} et {(A|0)} ont même rang.

      On enlève les colonnes de {0} donc {(A|B)} et {A} ont même rang.

    • {(c)\Rightarrow(b)}. On note {C_1,\cdots,C_n} les colonnes de {A} et {D_1,\cdots,D_n} celles de {B}.

      L’hypothèse est donc : {\text{rang}(C_1,\cdots,C_n,D_1,\cdots,D_n)=\text{rang}(C_1,\cdots,C_n)}.

      Ainsi {\forall\, j,\;D_j \in \text{Vect}(C_1,\cdots,C_n)}, et on peut écrire {D_j=x_{1,j} C_1+\cdots+x_{n,j} C_j}.

      On pose alors {X=(x_{i,j})} et on obtient bien {AX=B}.

  1. On trouve {\text{rg}(A)=2}. On concatène {A} et {B}.

    On obtient {C=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 2 & 1 & 1 \\2 & 1 & 3 & -2 & 6 & 1 \\3 & 2 & 2 & a & 7 & 2 \end{pmatrix}}.

    La méthode du pivot aboutit à {C'=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 & 1 & 1 \\0 & -1 & 5 & -6 & 4 & -1 \\0 & 0 & 0 & a & 0 & 0\end{pmatrix}}.

    Ainsi {C'} est de rang {2} si et seulement si {a=0}.

    Conclusion : {M,N} sont semblables si et seulement si {a=2}.