Longueur approchée d’une ellipse

(Exercice d’oral Centrale Mp)
On fixe {a\in\,]0,1[}, et on pose {J=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sqrt{1-a^2\sin^2t}\,\text{d}t}.
Cet exercice est consacré à la recherche d’une valeur approchée de {J}.

  1. Soit {g\colon x\mapsto \sqrt{1-x}}, et {\lambda_k=\dfrac{1}{(2k-1)4^{k}}\dbinom{2k}{k}} pour {k\in\mathbb{N}}.

    • Exprimer la dérivée {k}-ième de {g} sur {[0,1[} en fonction de {\lambda_{k}}.
    • Établir que, pour tous {n\ge 1} et {x\in[0,1[} : {g(x)+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda_kx^k=-(n+1)\lambda_{n+1}\displaystyle\int_0^{x}\Bigl(\dfrac{x-t}{1-t}\Bigr)^n\dfrac{\,\text{d}t}{\sqrt{1-t}}}
    • En déduire : {\forall n\ge1,\;\forall x\in[0,1[,\;\Bigl|g(x)+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda_kx^k\Bigr|\le\dbinom{2n}{n}\dfrac{x^n}{4^n}}.
  2. Pour tout {k} de {\mathbb{N}}, on admet que {I_{k}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{2k}t\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{4^{k}}\dbinom{2k}{k}}.

    Soit {\mu_k=\dfrac{a^{2k}}{(2k\!-\!1)16^k}\,\dbinom{2k}{k}^{2}} et {\ell_n=-\pi\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\mu_k=\pi\Bigl(1\!-\!\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\mu_k\Bigr).}

    • Montrer que {\left|{J-\ell_n}\right|\le\varepsilon_n}, où {\varepsilon_n=\pi\,\dfrac{a^{2n}}{16^n}\dbinom{2n}{n}^{2}}.

    • Donner un équivalent de {\varepsilon_n} quand {n\to+\infty}.

      En déduire que {J=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\ell_{n}=\pi\Bigl(1-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\mu_n\Bigr)}

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