(Oral Centrale)
On fixe {a\in\,]0,1[}, et {J=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sqrt{1-a^2\sin^2t}\,\text{d}t}.
On va chercher une valeur approchée de {J}.
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Soit {g(x)=\sqrt{1\!-\!x}} et {\lambda_k=\dfrac{1}{(2k-1)4^{k}}\dbinom{2k}{k}}.
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Exprimer {g^{(k)}} sur {[0,1[} en fonction de {\lambda_{k}}.
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Établir que, pour tous {n\ge 1} et {x\in[0,1[} : {g(x)\!+\!\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda_kx^k\!=\!-(n\!+\!1)\lambda_{n+1}\!\!\displaystyle\int_0^{x}\!\!\dfrac{(x\!-\!t)^n}{(1\!-\!t)^{n+1/2}}}
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En déduire, pour {n\ge1} et {x\in[0,1[} : {\Bigl|g(x)+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda_kx^k\Bigr|\le\dbinom{2n}{n}\dfrac{x^n}{4^n}}
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On admet que {I_{k}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{2k}t\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{4^{k}}\dbinom{2k}{k}}.
On pose {\mu_k=\dfrac{a^{2k}}{(2k\!-\!1)16^k}\,\dbinom{2k}{k}^{2}}
On pose {\ell_n=-\pi\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\mu_k=\pi\Bigl(1\!-\!\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\mu_k\Bigr)}
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