Encadrements de valeurs propres

(Oral Centrale Mp)
On munit {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} de la norme définie par {\left\|A\right\|=\displaystyle\max_{1\le i\le n}\sum_{j=1}^{n}\left\|a_{i,j}\right\|}.

  1. Montrer que tout {\lambda\in\text{Sp}_{\mathbb{C}}(A)} vérifie {\left|\lambda\right|\le \left\|A\right\|}.
  2. Pour tout {b\in\mathbb{N}^{*}}, on note {[[ -b,b]]=\{k\in\mathbb{Z},\;-b\le k\le b\}}.

    Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} à coefficients dans {[[ -b,b]]}.

    Soit {\lambda\in\text{Sp}_{\mathbb{C}}(A)}, non nulle. Prouver que {\left|\lambda\right|\ge {\left\|A\right\|}^{1-n}}.

  3. Soit {P=X^n-\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}X^k}, où les {a_{k}} sont dans {[[ -b,b]]}.

    • Calculer le polynôme caractéristique de {A=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&a_{0}\cr1&0&\ddots&\vdots&a_{1}\cr0&1&\ddots&0&\vdots\cr\vdots&\ddots&\ddots&0&a_{n-2}\cr0&\cdots&0&1&a_{n-1}\end{pmatrix}}
    • Soit {\lambda} une racine non nulle de {P}.

      Avec ce qui précède, quel encadrement obtient-on pour {\left|\lambda\right|}?

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

  1. Soit {U=(x_{i})} un vecteur propre de {A} pour {\lambda}.

    Soit {i_{0}} tel que {\left|x_{i_{0}}\right|=\displaystyle\max_{1\le i\le n}\left|x_{i}\right|>0}.

    On a {\lambda U=AU} et en particulier {\lambda x_{i_{0}}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{i_{0},j}\,x_{j}}. Ainsi : {\left|\lambda\right|\left|x_{i_{0}}\right|\le \displaystyle\sum_{j=1}^{n}\left|a_{i_{0},j}\right|\left|x_{j}\right|\le \left|x_{i_{0}}\right|\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\left|a_{i_{0},j}\right|\le \left|x_{i_{0}}\right|\left\|A\right\|}Il en résulte {\left|\lambda\right|\le\left\|A\right\|}.

  2. Soit {\alpha_{1},\ldots,\alpha_{k}} les valeurs propres non nulles de {A} (répétitions possibles), avec {\alpha_{k}=\lambda}.

    D’après ce qui précéde, on a toujours {\left|\alpha_{j}\right|\le \left\|A\right\|}, et {\left\|A\right\|\in\mathbb{N}^{*}}.

    Ainsi : {\displaystyle\prod_{j=1}^{k}\left|\alpha_{j}\right|=\left|\lambda\right|\displaystyle\prod_{j=1}^{k-1}\left|\alpha_{j}\right|\le \left|\lambda\right|\left\|A\right\|^{k-1}\le \left|\lambda\right|\left\|A\right\|^{n-1}}.

    Mais {\displaystyle\prod_{j=1}^{k}\alpha_{j}} est dans {\mathbb{Z}^*} (c’est au signe près le coefficient non nul de degré minimum du polynôme caractéristique de {A}, et ce polynôme est bien sûr à coefficients entiers).

    Ainsi {1\le \left|\lambda\right|\left\|A\right\|^{n-1}}, donc {\left|\lambda\right|\ge {\left\|A\right\|}^{1-n}}.

    • Dans {\det(xI_n-A)}, on effectue {L_{1}\leftarrow L_{1}+\displaystyle\sum_{i=2}^{n}x^{i-1}L_{i}}.

      On développe ensuite par rapport à {L_{1}} et on trouve {\chi_{A}(x)=P(x)}.

    • Ainsi {P} est le polynôme caractéristique de la matrice {A}.

      La racine {\lambda\ne0} de {P} est donc une valeur propre de {A}.

      Par ailleurs, on {\left\|A\right\|=\rho}, avec : {\rho=\max\{\left|a_{0}\right|,1+\left|a_{1}\right|,\ldots,1+\left|a_{n-1}\right|\}\in\mathbb{N}^{*}}En appliquant le résultat de (1), on trouve : {\rho^{1-n}\le \left|\lambda\right|\le \rho}.