Convergence d’une suite de fonctions

(Oral Centrale Mp)
Pour tout {n\in\mathbb{N}^*}, on définit {f_{n}} sur {\mathbb{R}^{+}} par {f_{n}(x)=\text{e}^{-nx}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(nx)^k}{k!}}.

L’objectif de l’exercice est d’étudier la convergence simple de {(f_{n})_{n\ge1}} sur {\mathbb{R}^{+}}.

  1. Dans cette question, {x\in[0,1[} est fixé, et {n\in\mathbb{N}^*} est quelconque.

    • Montrer que {1-f_{n}(x)=\text{e}^{-nx}\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(nx)^k}{k!}}
    • En déduire l’encadrement {0\le 1-f_{n}(x)\le \dfrac{\text{e}^{-nx}\,(nx)^n}{n!\,(1-x)}}.
    • Montrer enfin que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_{n}(x)=1}.
  2. Dans cette question, {x\in]1,+\infty[} est fixé, et {n\in\mathbb{N}^*} est quelconque.

    Montrer que {f_{n}(x)\le n\,\dfrac{(nx)^{n}}{n!}\,\text{e}^{-nx}}. En déduire {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_{n}(x)=0}.

  3. On admet que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_{n}(1)=\dfrac{1}{2}}.

    Indiquer des intervalles de {\mathbb{R}} sur lesquels il y a convergence uniforme.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

    • On sait bien sûr que {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(nx)^k}{k!}=\text{e}^{nx}}.

      Ainsi {f_{n}(x)=\text{e}^{-nx}\Big(\text{e}^{nx}-\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(nx)^k}{k!}\Bigr)} donc {1-f_{n}(x)=\text{e}^{-nx}\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(nx)^k}{k!}}

    • L’inégalité {f_{n}(x)\le 1} est évidente (et n’est une égalité que si {x=0}).

      On peut écrire : {1-f_{n}(x)=\text{e}^{-nx}\dfrac{(nx)^n}{n!}\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{n^{k-n} n!}{k!}\,x^{k-n}}

      Mais pour {k\ge n}, on a : {\dfrac{n^{k-n} n!}{k!}=\dfrac{n^{k-n}}{(n+1)(n+2)\cdots k}\le1}.

      Ainsi {0\le 1-f_{n}(x)\le \text{e}^{-nx}\dfrac{(nx)^n}{n!}\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}x^{k-n}}.

      Autrement dit : {0\le 1-f_{n}(x)\le \dfrac{\text{e}^{-nx}\,(nx)^n}{n!\,(1-x)}}.

    • On peut supposer {0\lt x\lt 1} car {f_{n}(0)=1} pour tout {n} de {\mathbb{N}^*}.

      On sait (formule de Stirling) que {n!\sim \text{e}^{n}n^{n}\sqrt{2\pi n}} quand {n\to +\infty}.

      Ainsi {\dfrac{\text{e}^{-nx}\,(nx)^n}{n!\,(1-x)}\sim \dfrac{{(x\,\text{e}^{1-x})}^n}{(1-x)\sqrt{2\pi n}}} quand {n\to +\infty}.

      Or {0\lt x\text{e}^{1-x}\lt 1} pour {x\in[0,1]} (facile). Il en découle {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_{n}(x)=1}.

  1. Il suffit de remarquer que {k\mapsto u_{k}=\dfrac{(nx)^k}{k!}}, avec {0\le k\le n-1}, est croissante.

    En effet {\dfrac{u_{k+1}}{u_{k}}=\dfrac{nx}{k+1}\ge \dfrac{n}{k+1}\ge1}.

    On en déduit {f_{n}(x)=\text{e}^{-nx}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}u_{k}\le n u_{n}\text{e}^{-nx}}.

    Autrement dit, pour tout {n} de {\mathbb{N}^*}, on a : {0\le f_{n}(x)\le v_{n}\text{\ avec\ }v_{n}=n\,\dfrac{(nx)^{n}}{n!}\,\text{e}^{-nx}}Avec Stirling, on trouve : {v_{n}\sim n\dfrac{{(x\,\text{e}^{1-x})}^n}{\sqrt{2\pi n}}}.

    Mais l’étude de {t\mapsto\varphi(t)=t\,\text{e}^{1-t}} sur {]1,+\infty[} montre que {q=x\,\text{e}^{1-x}\in]0,1[}.

    Il en résulte {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_{n}=0} donc {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_{n}(x)=0}.

  2. Il n’y a évidemment convergence uniforme sur aucun intervalle contenant {1}.

    On vérifie facilement (en utilisant (1b) et de (2) et en majorant indépendamment de {x}), qu’il y a convergence uniforme sur tout {[0,a]} avec {0\lt a\lt 1}, et sur tout {[b,+\infty[}, avec {b>1}.

Pour terminer, voici quelques courbes représentative de fonctions {f_n}.